„Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell kéttest korrekciója” változatai közötti eltérés
a (Tördelés fejlesztése.) |
|||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a mag véges nagyságú tömege milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben és a spektrumban!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Oldja meg a Bohr-modellt tömegközépponti koordináta-rendszerben.}}{{Végeredmény|content=$$E_n^* = -\frac{E_0}{n^2},$$ $$ E_0^* = \frac{E_0}{1+\textstyle \frac{m_e}{M}} \approx E_0 \left(1- \frac{m_e}{M}\right), $$ ahol $m_e$ az elektron, $M$ pedig az atommag tömege.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | </noinclude><wlatex># Számítsa ki, hogy a hidrogénatom ''Bohr''-féle modelljében a mag véges nagyságú tömege milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben és a spektrumban!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Oldja meg a ''Bohr''-modellt tömegközépponti koordináta-rendszerben.}}{{Végeredmény|content=$$E_n^* = -\frac{E_0}{n^2},$$ $$ E_0^* = \frac{E_0}{1+\textstyle \frac{m_e}{M}} \approx E_0 \left(1- \frac{m_e}{M}\right), $$ ahol $m_e$ az elektron, $M$ pedig az atommag tömege.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>A kéttest | + | <wlatex>A kéttest korrekció alkalmazásakor a [[Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell|''Bohr''-modell]] tárgyalásából továbbra is érvényes, hogy a ''Coulomb''-erő tölti be a centipetális erő szerepét |
$$ m_e \frac{v^2}{r} \equiv m_e \omega^2 r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}, $$ | $$ m_e \frac{v^2}{r} \equiv m_e \omega^2 r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}, $$ | ||
de az impulzusmomentum kvantálását most az atommag és az elektron összes impulzusmomentumára alkalmazzuk: | de az impulzusmomentum kvantálását most az atommag és az elektron összes impulzusmomentumára alkalmazzuk: |
A lap jelenlegi, 2013. június 13., 23:39-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a mag véges nagyságú tömege milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben és a spektrumban!
Megoldás
A kéttest korrekció alkalmazásakor a Bohr-modell tárgyalásából továbbra is érvényes, hogy a Coulomb-erő tölti be a centipetális erő szerepét
de az impulzusmomentum kvantálását most az atommag és az elektron összes impulzusmomentumára alkalmazzuk:
ahol az atommag tömege, és rendre az elektron és az atommag pályasugara a közös tömegközéppont körül, pedig a közös keringési körfrekvencia.
A tömegközéppont definíciójából
ahol az elektron és az atommag távolsága. Bevezetjük még a
redukált tömeget. Ezekkel a két egyenletünk:
ami a Bohr-modellével megegyező egyenletrendszer, a kéttest korrekcióval javított energiaszintek a korábbi módon számolhatók az új
ionizációs energiával, ahol .
Megjegyzés
Az határeset visszaadja a rögzített atommag esetét, a hidrogén, deutérium és egyszeresen ionizált héliumatomon végzett kísérletekben ez az izotópeffektus mérhető, az és gerjesztett állapotok közötti átmenethez tartozó hullámhosszok rendre , és ().
Hélium atomban a mérést a megfelelő energiaszintek közt kell elvégezni, mert rendszáma , így Coulomb-ereje is -szer nagyobb:
azaz keresett hidrogénszerű állapothoz gerjesztett állapotok tartoznak.