„Kvantummechanikai bevezető példák - Relativisztikus tömegnövekedés Bohr-féle hidrogénmodellben” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (Kereshetőség érdekében a hosszú kötőjeles szavakat tagolom) |
|||
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= | + | </noinclude><wlatex># Számítsa ki, hogy a hidrogénatom ''Bohr''-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Fejtse sorba a relativisztikus tömeget.}}{{Végeredmény|content=$$ E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\frac{E_0}{2} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right], $$ $n$-ben negyedrendű korrekciót kapunk. Megjegyzendő, hogy az együttható nem pontos, mert a klasszikus relativisztikus tárgyalás nem juthat el arra a helyes eredményre, ami a kvantummechanikában a ''Klein''–''Gordon''-formula néven ismert.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>A [[Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell|Bohr-modellről]] szóló feladatban levezetett $$ E_n = -\frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \cdot m \cdot \frac{1}{n^2} $$ | + | <wlatex>A [[Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell|''Bohr''-modellről]] szóló feladatban levezetett $$ E_n = -\frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \cdot m \cdot \frac{1}{n^2} $$ |
− | energiakifejezésbe most az $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}$ relativisztikus tömeget helyettesítjük be és | + | energiakifejezésbe most az $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}$ relativisztikus tömeget helyettesítjük be és sorba fejtjük a nevezőt: |
$$ E_n = -\frac{E_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}\cdot \frac{1}{n^2} | $$ E_n = -\frac{E_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}\cdot \frac{1}{n^2} | ||
= -E_0\left(1+\frac12\left(\frac{v_n}{c}\right)^2+O\left[\left(\frac{v_n}{c}\right)^4\right]\right)\frac{1}{n^2} $$ | = -E_0\left(1+\frac12\left(\frac{v_n}{c}\right)^2+O\left[\left(\frac{v_n}{c}\right)^4\right]\right)\frac{1}{n^2} $$ | ||
vagy másként a relativisztikus tömegnövekedéssel korrigált energiaszintek | vagy másként a relativisztikus tömegnövekedéssel korrigált energiaszintek | ||
− | $$ E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\ | + | $$ E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\frac{E_0}{2} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right], $$ |
− | ahol $ E_0 = \frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} $ | + | ahol $ E_0 = \frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} $, $ \alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c} $ és $m_0=m_e$ az elektron nyugalmi tömege. |
− | A mérések ezt nem támasztják alá, azaz a Bohr-modell csak egy közelítő leírása a hidrogénatomnak, mint kvantummechanikai objektumnak. A pontos eredmény a Klein | + | A mérések ezt nem támasztják alá, azaz a Bohr-modell csak egy közelítő leírása a hidrogénatomnak, mint kvantummechanikai objektumnak. A pontos eredmény a ''Klein''–''Gordon''-formula: |
− | $$ E_n = m_0 c^2 - \frac{m_0 e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^2} + \frac34 \frac{m_0 e^8}{2\hbar^4(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^ | + | $$ E_n = m_0 c^2 - \frac{m_0 e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^2} + \frac34 \frac{m_0 e^8}{2\hbar^4(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^4} +O\left[n^{-6}\right] $$ |
az előző jelölésekkel | az előző jelölésekkel | ||
− | $$ E_n = mc^2 - \frac{E_0}{n^2} - \ | + | $$ E_n = mc^2 - \frac{E_0}{n^2} - \frac{3E_0}{4} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right], $$ |
ahol az első tag az tömeg-energia megfeleltetésből adódó kifejezés, a második tag a nemrelativisztikus eredmény, a harmadik tagban, pedig már a klasszikus relativisztikus tárgyalás hibája jelenik meg. | ahol az első tag az tömeg-energia megfeleltetésből adódó kifejezés, a második tag a nemrelativisztikus eredmény, a harmadik tagban, pedig már a klasszikus relativisztikus tárgyalás hibája jelenik meg. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. július 1., 14:42-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!
Megoldás
A Bohr-modellről szóló feladatban levezetettenergiakifejezésbe most az relativisztikus tömeget helyettesítjük be és sorba fejtjük a nevezőt:
vagy másként a relativisztikus tömegnövekedéssel korrigált energiaszintek
ahol , és az elektron nyugalmi tömege.
A mérések ezt nem támasztják alá, azaz a Bohr-modell csak egy közelítő leírása a hidrogénatomnak, mint kvantummechanikai objektumnak. A pontos eredmény a Klein–Gordon-formula:
az előző jelölésekkel
ahol az első tag az tömeg-energia megfeleltetésből adódó kifejezés, a második tag a nemrelativisztikus eredmény, a harmadik tagban, pedig már a klasszikus relativisztikus tárgyalás hibája jelenik meg.