„Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger Kategória:Kvantummechanikai bevezető {{Kísérleti fizika gyakorlat …”)
 
11. sor: 11. sor:
 
</noinclude><wlatex># Számítsa ki a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a „körpályán” keringő elektron pályasugarát, sebességét, perdületét és energiáját!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
</noinclude><wlatex># Számítsa ki a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a „körpályán” keringő elektron pályasugarát, sebességét, perdületét és energiáját!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Megoldás szövege
+
<wlatex>A Bohr-féle hidrogénmodellben az elektron a rögzített atommag körül kering, impulzusmomentum a [[Kvantummechanikai bevezető példák - Fluxuskvantálás szemléletesen|3. posztulátum szerint kvantált]], az $n$. pályán:
 +
$$ L_n \equiv m_0 v_n r_n = n\hbar. $$
 +
A pályasugarakat és sebességeket a klasszikus képben végzet számításokból kapjuk: az atommag $F_C=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}{e^2}{r^2}$ Coulomb-vonzása az $F_{cp}=m_0 a_{cp} centripetális erő, ami körpályán tartja az elektront:
 +
$$ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}{e^2}{r^2} = m_0 \frac{v^2}{r}. $$
 +
$r$-rel való egyszerűsítés után beírjuk a kvantumgfeltételből kapott $r_n = \frac{n\hbar}{m_0 v_n} összefüggést, akkor a sebesség, és így a sugár lehetséges értékei
 +
$$ v_n = \frac{v_0}{n} = \alpha_f \frac{c}{n}, \qquad r_n = a_0 n^2 = \frac{n^2\hbar}{\alpha_f m_0 c}, $$
 +
ahol
 +
$$ v_0 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}, \qquad a_0 = {\hbar^2 4 \pi \varepsilon_0}{m_0 e^2} $$
 +
és
 +
$$ \alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c} \approx 137 $$
 +
finomszerkezeti állandó.
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2013. április 23., 17:23-kori változata

[rejt] Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kvantummechanikai bevezető
Feladatok listája:
  1. Nap felszíni hőmérséklete
  2. Izzólámpa hatásfoka
  3. Fekete test
  4. Tantál kilépési munkája
  5. Compton-szórás
  6. Compton-szórás szabadon
  7. Fluxuskvantálás
  8. Bohr-modell
  9. Rel. tömegnövekedés
  10. Kéttest korrekció
  11. Visszalökődés
  12. Korrespondencia-elv
  13. Foton és elektron Ekin(k)
  14. Schrödinger-egyenlet
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Számítsa ki a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a „körpályán” keringő elektron pályasugarát, sebességét, perdületét és energiáját!

Megoldás

A Bohr-féle hidrogénmodellben az elektron a rögzített atommag körül kering, impulzusmomentum a 3. posztulátum szerint kvantált, az \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. pályán:

\[ L_n \equiv m_0 v_n r_n = n\hbar. \]

A pályasugarakat és sebességeket a klasszikus képben végzet számításokból kapjuk: az atommag \setbox0\hbox{$F_C=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}{e^2}{r^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Coulomb-vonzása az $F_{cp}=m_0 a_{cp} centripetális erő, ami körpályán tartja az elektront:

\[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}{e^2}{r^2} = m_0 \frac{v^2}{r}. \]

\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-rel való egyszerűsítés után beírjuk a kvantumgfeltételből kapott $r_n = \frac{n\hbar}{m_0 v_n} összefüggést, akkor a sebesség, és így a sugár lehetséges értékei

\[ v_n = \frac{v_0}{n} = \alpha_f \frac{c}{n}, \qquad r_n = a_0 n^2 = \frac{n^2\hbar}{\alpha_f m_0 c}, \]

ahol

\[ v_0 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}, \qquad a_0 = {\hbar^2 4 \pi \varepsilon_0}{m_0 e^2} \]

és

\[ \alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c} \approx 137 \]

finomszerkezeti állandó.

A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Kvantummechanikai_bevezető_példák_-_Bohr-féle_hidrogénmodell&oldid=9348”