„Kvantummechanikai bevezető” változatai közötti eltérés

A lap jelenlegi, 2013. július 1., 14:35-kori változata

[rejt] Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája: Kinetikus gázelmélet, transzport Állapotváltozás, I. főtétel Fajhő, Körfolyamatok Entrópia, II. főtétel Homogén rendszerek Fázisátalakulások Kvantummechanikai bevezető
Kvantummechanikai bevezető
Feladatok listája: Nap felszíni hőmérséklete Izzólámpa hatásfoka Fekete test Tantál kilépési munkája Compton-szórás Compton-szórás szabadon Fluxuskvantálás Bohr-modell Rel. tömegnövekedés Kéttest korrekció Visszalökődés Korrespondencia-elv Foton és elektron E_kin(k) Schrödinger-egyenlet
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Ismert fizikai állandók

$\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$1{,}381 \cdot 10^{-23}\,\mathrm{J \cdot K^{-1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	Boltzmann-állandó
$\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J \cdot s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	Planck-állandó ( $\setbox0\hbox{$h=2\pi \hbar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ )
$\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$5{,}671 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	Stefan–Boltzmann-állandó
$\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$2{,}998 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	vákuumbeli fénysebesség
$\setbox0\hbox{$e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	elemi töltés
$\setbox0\hbox{$m_e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$9{,}110\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	elektron tömege
$\setbox0\hbox{$m_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$1{,}672 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	proton tömege ( $\setbox0\hbox{$m_p\approx 1835\,m_e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ )
$\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$3{,}289 \cdot 10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	Rydberg-állandó
$\setbox0\hbox{$\alpha_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$ 1/137{,}036 $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	finomszerkezeti állandó ( $\setbox0\hbox{$\alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ )

Feladatok

Nyári napsütésben, délben a Föld felszínének $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{m^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ -én átlagosan kb. $\setbox0\hbox{$1400\,\mathrm{W}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ napsugárzási teljesítmény mérhető. Becsüljük meg a Nap felszínének hőmérsékletét!
( $\setbox0\hbox{$\sigma =5{,}671\cdot {10}^{-8}\mathrm{\frac W{m^2\,K^4}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ )
Útmutatás [mutat]
Használjuk ki, hogy a Nap által kibocsátott összes sugárzási teljesítmény egyenletesen oszlik el egy földpálya sugarú gömbfelületen.

Végeredmény [mutat]
$\setbox0\hbox{$T = 5819\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
Megoldás
Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb. $\setbox0\hbox{$1800\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ . Az emberi szem a $\setbox0\hbox{$(4-7)\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hullámhossz tartományban lát. Becsülje meg az izzólámpa „hatásfokát”!
Útmutatás [mutat]
Használja a Planck-féle sugárzási törvényt, a látható intervallumban alkalmazzon közelítést.

Végeredmény [mutat]
$\frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}_t}=0{,}355\%$

Megoldás
Határozzuk meg, hogy egy $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérséklet fekete test milyen foton-áramsűrűséggel sugároz!
Útmutatás [mutat]
A Planck-féle sugárzási törvényben különítse el a foton energiáját.

Végeredmény [mutat]
$N = 2{,}404 \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3$

Megoldás
Egy $\setbox0\hbox{$25\,\mathrm{W}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ -os megfelelő gázzal töltött lámpától $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ -re egy tantál fémfelületet ( $\setbox0\hbox{$\Phi_0=4\,\mathrm{eV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ) helyezünk el. A klasszikus elmélet alapján becsülje meg, hogy egy elektron átlagosan mennyi idő alatt gyűjtene össze annyi energiát, amivel kiléphet a fémből!
(A valóságban a fotoeffektus során az elektronok a megvilágításkor „azonnal” kilépnek a fémből.)
Útmutatás [mutat]
Használja fel, hogy az izzó által kibocsátott összes sugárzási teljesítmény egyenletesen oszlik el az $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömbfelületen.

Végeredmény [mutat]
$\Delta t= \frac{16\Phi_0}{P} \left( \frac{\ell}{D_\mathrm{Ta}} \right)^2 = 4{,}88\,\mathrm{s}$

Megoldás
Határozza meg, hogy a Compton-szórás esetén a beeső foton energiájának hány százalékát adja le az elektronnak!
Útmutatás [mutat]
A Compton-szórás levezetéséhez írja fel a relativisztikus energia- és impulzusmegmaradást.

Végeredmény [mutat]
$\eta = 1 - \left(\frac{p_f(1-\cos\vartheta)}{m_e c}+1\right)^{-1},$
ahol $\setbox0\hbox{$\vartheta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a foton eltérülése eredeti irányától.
Megoldás
Vizsgáljuk meg, hogy létezik-e olyan effektus, hogy egy szabad elektron teljes egészében elnyel egy fotont (teljesen rugalmatlan ütközés)! Ennek fényében, hogyan magyarázható a fotoeffektus?
Útmutatás [mutat]
Vizsgálja meg milyen körülmények között jöhetne létre Compton-szórás szabad elektronra.

Végeredmény [mutat]
Szabad elektronra nem létezik. Fotoeffektusnál az energiamegmaradásban figyelembe kell venni a kilépési munkát.
Megoldás
Alkalmazza a Bohr–Sommerfeld-féle kvantálási hipotézist körpályán mozgó elektronra és egy lineáris oszcillátorra! Magyarázza meg a szupravezetésnél fellépő „fluxuskvantálás” jelenségét a Bohr–Sommerfeld-féle kvantálási hipotézis segítségével!
Útmutatás [mutat]
Írja fel és „kvantálja” a fázistérbeli pályaintegrált!

Végeredmény [mutat]
Körpályán mozgó elektronra $\setbox0\hbox{$p_\varphi=n\hbar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , lineáris oszcillátorra $\setbox0\hbox{$E=n\omega\hbar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ .
Megoldás
Számítsa ki a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a „körpályán” keringő elektron pályasugarát, sebességét, perdületét és energiáját!
Útmutatás [mutat]
Írja fel a körpályán tartó Coulomb-erőt és alkalmazza a kvantumhipotézist!

Végeredmény [mutat]
$v_n = \frac{v_0}{n}, \qquad r_n = a_0 n^2,$

$L_n = n\hbar, \qquad E_n = -\frac{E_0}{n^2},$
ahol
$v_0 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}, \qquad a_0 = \frac{\hbar^2 4 \pi \varepsilon_0}{m_e e^2},$

$E_0 = \frac{m_e e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2}.$

Megoldás
Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!
Útmutatás [mutat]
Fejtse sorba a relativisztikus tömeget.

Végeredmény [mutat]
$E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\frac{E_0}{2} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right],$
$\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ -ben negyedrendű korrekciót kapunk. Megjegyzendő, hogy az együttható nem pontos, mert a klasszikus relativisztikus tárgyalás nem juthat el arra a helyes eredményre, ami a kvantummechanikában a Klein–Gordon-formula néven ismert.
Megoldás
Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a mag véges nagyságú tömege milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben és a spektrumban!
Útmutatás [mutat]
Oldja meg a Bohr-modellt tömegközépponti koordináta-rendszerben.

Végeredmény [mutat]
$E_n^* = -\frac{E_0}{n^2},$

$E_0^* = \frac{E_0}{1+\textstyle \frac{m_e}{M}} \approx E_0 \left(1- \frac{m_e}{M}\right),$
ahol $\setbox0\hbox{$m_e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az elektron, $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig az atommag tömege.
Megoldás
Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!
Útmutatás [mutat]
Alkalmazza az energia- és az impulzusmegmaradás tételét.

Végeredmény [mutat]
Az új frekvencia
$\nu' \approx \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h\nu}{Mc^2}},$
ahol $\setbox0\hbox{$\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a visszalökődés nélküli foton frekvenciája, $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az atom tömege.
Megoldás
Mutassa meg, hogy miként teljesül a „korrespondencia-elv” a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a fénykibocsátása esetén!
Útmutatás [mutat]
Vizsgálja a hidrogénatom magasan gerjesztett állapotai közti átmeneteket.

Megoldás
Hasonlítsa össze a foton és az elektron kinetikus energia-hullámszám görbéjét! Elemezze a lehetséges jellegzetességeket relativisztikus, és nemrelativisztikus esetekben!
Útmutatás [mutat]
A relativisztikus összenergia $\setbox0\hbox{$E(\mathbf{p}) = \sqrt{m_0^2c^4+c^2p^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ .

Megoldás
Határozza meg a Schrödinger-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!
Útmutatás [mutat]
Az elektron sugárirányú megtalálási valószínűségének eloszlás
$R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{\textstyle -\frac{r}{n a_0}}.$

Végeredmény [mutat]
$r_\text{lv.}=n^2 a_0$

Megoldás

@@ 6. sor: / 6. sor: @@
 | gyaksorszám = 7
 | témakör     = Kvantummechanikai bevezető
-| rövid       = Kvantummechanikai bevezető
+| fejezetlap  = true
 }}
 == Ismert fizikai állandók ==
-<wlatex>
+<wlatex>{| style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
-{| style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
+| align="right" | $k$ || = || $1{,}381 \cdot 10^{-23}\,\mathrm{J \cdot K^{-1}}$ || ''Boltzmann''-állandó
-| align="right" | $k_B$ || = || $1{,}381 \cdot 10^{-23}\,\mathrm{J \cdot K^{-1}}$ || Boltzmann-állandó
 |-
-| align="right" | $h$ || = || $6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J s}$ || Planck-állandó $h=2\pi \hbar$
+| align="right" | $h$ || = || $6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J \cdot s}$ || ''Planck''-állandó ($h=2\pi \hbar$)
 |-
-| align="right" | $\sigma$ || = || $5{,}67 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{Wm^{-2}K^{-4}}$ || Stefan-Boltzmann állandó
+| align="right" | $\sigma$ || = || $5{,}671 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}}$ || ''Stefan''–''Boltzmann''-állandó
 |-
 | align="right" | $c$ || = || $2{,}998 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}$ || vákuumbeli fénysebesség
@@ 23. sor: / 22. sor: @@
 | align="right" | $m_e$ || = || $9{,}110\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ || elektron tömege
 |-
-| align="right" | $m_p$ || = || $1{,}672 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ || proton tömege ($m_p\approx 1835m_e$)
+| align="right" | $m_p$ || = || $1{,}672 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ || proton tömege ($m_p\approx 1835\,m_e$)
 |-
-| align="right" | $R$ || = || $3{,}289 \cdot 10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$ || Rydberg-állandó
+| align="right" | $R$ || = || $3{,}289 \cdot 10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$ || ''Rydberg''-állandó
+|-
+| align="right" | $\alpha_f$ || = || $ 1/137{,}036 $ || finomszerkezeti állandó ($\alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c}$)
 |-
 |}
@@ 33. sor: / 34. sor: @@
 </noinclude>
 {{:Kvantummechanikai bevezető példák - Nap felszíni hőmérsékletének becslése}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Nap felszíni hőmérsékletének becslése}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Izzólámpa látható tartományban kibocsátott teljesítménye}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Izzólámpa látható tartományban kibocsátott teljesítménye}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Fekete test fotonáramsűrűsége}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Fekete test fotonáramsűrűsége}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Tantál kilépési munkája}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Tantál kilépési munkája}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Compton-szórás energiaviszonyai}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Compton-szórás energiaviszonyai}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Compton-szórás szabad elektronra}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Compton-szórás szabad elektronra}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Fluxuskvantálás szemléletesen}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Fluxuskvantálás szemléletesen}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Relativisztikus tömegnövekedés Bohr-féle hidrogénmodellben}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Relativisztikus tömegnövekedés Bohr-féle hidrogénmodellben}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell kéttest korrekciója}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell kéttest korrekciója}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Emissziós spektrum korrekciója visszalökődéssel}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Emissziós spektrum korrekciója visszalökődéssel}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Korrespondencia-elv a Bohr-féle hidrogénmodellben}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Korrespondencia-elv a Bohr-féle hidrogénmodellben}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Foton és elektron kinetikus energiája a hullámszám függvényében}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Foton és elektron kinetikus energiája a hullámszám függvényében}}
+{{:Kvantummechanikai bevezető példák - Schrödinger-egyenlet megoldása hidrogénatomban}}{{Megoldás|link=Kvantummechanikai bevezető példák - Schrödinger-egyenlet megoldása hidrogénatomban}}

„Kvantummechanikai bevezető” változatai közötti eltérés

A lap jelenlegi, 2013. július 1., 14:35-kori változata

Ismert fizikai állandók

Feladatok

Navigációs menü

Nézetek

Személyes eszközök

navigáció

Képzések

Kísérleti videók

Keresés

Eszközök

Kategóriák