„Kvantummechanikai bevezető példák - Fekete test fotonáramsűrűsége” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger Kategória:Kvantummechanikai bevezető {{Kísérleti fizika gyakorlat …”)
 
a (Tördelés fejlesztése.)
 
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva)
10. sor: 10. sor:
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
 
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg, hogy egy $T$ hőmérséklet fekete test milyen foton-áramsűrűséggel sugároz!
 
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg, hogy egy $T$ hőmérséklet fekete test milyen foton-áramsűrűséggel sugároz!
−
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A ''Planck''-féle sugárzási törvényben különítse el a foton energiáját.}}{{Végeredmény|content=$$N = 2{,}404 \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Megoldás szövege
+
<wlatex>A ''Planck''-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a $[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$ frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítményt átírjuk, hogy megjelenjen a foton $h\nu$ energiája:
 +
$$ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu
 +
    = h\nu \cdot \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, $$
 +
ami alapján bevezetjük a teljes térszögbe a $[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$ frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott fotonszámot:
 +
$$ n(\nu)\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu. $$
 +
 
 +
A fotonok teljes száma felületegységenként és időegységenként $x=\frac{h\nu}{kT}$ változócserével:
 +
$$ N = \int_0^\infty n(\nu)\,\mathrm{d}\nu
 +
    = \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3 \int_0^\infty \frac{x^2}{e^x-1}\,\mathrm{d}x, $$
 +
ahol az integrál kifejezhető a [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html ''Riemann''-féle $\zeta$-függvénnyel], értéke $\Gamma(3)\zeta(3)\approx 2{,}404$.
 +
 
 +
Például $T=2100\,\mathrm{K}$-en
 +
$$ N = 5{,}64\cdot 10^{25}\,\mathrm{\frac{1}{s\,m^2}}, $$
 +
amit értelmezhetünk $1\,\mathrm{m^2}$-en $1\,\mathrm{s}$ alatt létrejövő $c \cdot 1\,\mathrm{s\,m^2} = 2{,}998 \cdot 10^8\,\mathrm{m^3}$ térfogatban egyenletesen eloszló kb.  $100\,\mathrm{mol}$ fotonként.
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. június 13., 22:38-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kvantummechanikai bevezető
Feladatok listája:
  1. Nap felszíni hőmérséklete
  2. Izzólámpa hatásfoka
  3. Fekete test
  4. Tantál kilépési munkája
  5. Compton-szórás
  6. Compton-szórás szabadon
  7. Fluxuskvantálás
  8. Bohr-modell
  9. Rel. tömegnövekedés
  10. Kéttest korrekció
  11. Visszalökődés
  12. Korrespondencia-elv
  13. Foton és elektron Ekin(k)
  14. Schrödinger-egyenlet
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Határozzuk meg, hogy egy \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérséklet fekete test milyen foton-áramsűrűséggel sugároz!

Megoldás

A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a \setbox0\hbox{$[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítményt átírjuk, hogy megjelenjen a foton \setbox0\hbox{$h\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiája:

\[ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu = h\nu \cdot \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, \]

ami alapján bevezetjük a teljes térszögbe a \setbox0\hbox{$[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott fotonszámot:

\[ n(\nu)\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu. \]

A fotonok teljes száma felületegységenként és időegységenként \setbox0\hbox{$x=\frac{h\nu}{kT}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% változócserével:

\[ N = \int_0^\infty n(\nu)\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3 \int_0^\infty \frac{x^2}{e^x-1}\,\mathrm{d}x, \]

ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle \setbox0\hbox{$\zeta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-függvénnyel, értéke \setbox0\hbox{$\Gamma(3)\zeta(3)\approx 2{,}404$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Például \setbox0\hbox{$T=2100\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-en

\[ N = 5{,}64\cdot 10^{25}\,\mathrm{\frac{1}{s\,m^2}}, \]

amit értelmezhetünk \setbox0\hbox{$1\,\mathrm{m^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-en \setbox0\hbox{$1\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alatt létrejövő \setbox0\hbox{$c \cdot 1\,\mathrm{s\,m^2} = 2{,}998 \cdot 10^8\,\mathrm{m^3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térfogatban egyenletesen eloszló kb. \setbox0\hbox{$100\,\mathrm{mol}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fotonként.

A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Kvantummechanikai_bevezető_példák_-_Fekete_test_fotonáramsűrűsége&oldid=10241”