„Kvantummechanikai bevezető példák - Relativisztikus tömegnövekedés Bohr-féle hidrogénmodellben” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger Kategória:Kvantummechanikai bevezető {{Kísérleti fizika gyakorlat …”)
 
a (Kereshetőség érdekében a hosszú kötőjeles szavakat tagolom)
 
(egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva)
9. sor: 9. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</noinclude><wlatex># Számítsa ki, hogy a hidrogénatom ''Bohr''-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Fejtse sorba a relativisztikus tömeget.}}{{Végeredmény|content=$$ E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\frac{E_0}{2} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right], $$ $n$-ben negyedrendű korrekciót kapunk. Megjegyzendő, hogy az együttható nem pontos, mert a klasszikus relativisztikus tárgyalás nem juthat el arra a helyes eredményre, ami a kvantummechanikában a ''Klein''–''Gordon''-formula néven ismert.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Megoldás szövege
+
<wlatex>A [[Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell|''Bohr''-modellről]] szóló feladatban levezetett $$ E_n = -\frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \cdot m \cdot \frac{1}{n^2} $$
 +
energiakifejezésbe most az $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}$ relativisztikus tömeget helyettesítjük be és sorba fejtjük a nevezőt:
 +
$$ E_n = -\frac{E_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}\cdot \frac{1}{n^2}
 +
    = -E_0\left(1+\frac12\left(\frac{v_n}{c}\right)^2+O\left[\left(\frac{v_n}{c}\right)^4\right]\right)\frac{1}{n^2} $$
 +
vagy másként a relativisztikus tömegnövekedéssel korrigált energiaszintek
 +
$$ E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\frac{E_0}{2} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right], $$
 +
ahol $ E_0 = \frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} $, $ \alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c} $ és $m_0=m_e$ az elektron nyugalmi tömege.
 +
 
 +
A mérések ezt nem támasztják alá, azaz a Bohr-modell csak egy közelítő leírása a hidrogénatomnak, mint kvantummechanikai objektumnak. A pontos eredmény a ''Klein''–''Gordon''-formula:
 +
$$ E_n = m_0 c^2 - \frac{m_0 e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^2} + \frac34 \frac{m_0 e^8}{2\hbar^4(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^4} +O\left[n^{-6}\right] $$
 +
az előző jelölésekkel
 +
$$ E_n = mc^2 - \frac{E_0}{n^2} - \frac{3E_0}{4} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right], $$
 +
ahol az első tag az tömeg-energia megfeleltetésből adódó kifejezés, a második tag a nemrelativisztikus eredmény, a harmadik tagban, pedig már a klasszikus relativisztikus tárgyalás hibája jelenik meg.
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. július 1., 14:42-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kvantummechanikai bevezető
Feladatok listája:
  1. Nap felszíni hőmérséklete
  2. Izzólámpa hatásfoka
  3. Fekete test
  4. Tantál kilépési munkája
  5. Compton-szórás
  6. Compton-szórás szabadon
  7. Fluxuskvantálás
  8. Bohr-modell
  9. Rel. tömegnövekedés
  10. Kéttest korrekció
  11. Visszalökődés
  12. Korrespondencia-elv
  13. Foton és elektron Ekin(k)
  14. Schrödinger-egyenlet
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!

Megoldás

A Bohr-modellről szóló feladatban levezetett
\[ E_n = -\frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \cdot m \cdot \frac{1}{n^2} \]

energiakifejezésbe most az \setbox0\hbox{$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% relativisztikus tömeget helyettesítjük be és sorba fejtjük a nevezőt:

\[ E_n = -\frac{E_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}\cdot \frac{1}{n^2} = -E_0\left(1+\frac12\left(\frac{v_n}{c}\right)^2+O\left[\left(\frac{v_n}{c}\right)^4\right]\right)\frac{1}{n^2} \]

vagy másként a relativisztikus tömegnövekedéssel korrigált energiaszintek

\[ E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\frac{E_0}{2} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right], \]

ahol \setbox0\hbox{$ E_0 = \frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$ \alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$m_0=m_e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az elektron nyugalmi tömege.

A mérések ezt nem támasztják alá, azaz a Bohr-modell csak egy közelítő leírása a hidrogénatomnak, mint kvantummechanikai objektumnak. A pontos eredmény a Klein–Gordon-formula:

\[ E_n = m_0 c^2 - \frac{m_0 e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^2} + \frac34 \frac{m_0 e^8}{2\hbar^4(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^4} +O\left[n^{-6}\right] \]

az előző jelölésekkel

\[ E_n = mc^2 - \frac{E_0}{n^2} - \frac{3E_0}{4} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right], \]

ahol az első tag az tömeg-energia megfeleltetésből adódó kifejezés, a második tag a nemrelativisztikus eredmény, a harmadik tagban, pedig már a klasszikus relativisztikus tárgyalás hibája jelenik meg.

A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Kvantummechanikai_bevezető_példák_-_Relativisztikus_tömegnövekedés_Bohr-féle_hidrogénmodellben&oldid=10889”