„Kvantummechanikai bevezető példák - Fekete test fotonáramsűrűsége” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (Tördelés fejlesztése.) |
|||
| (egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 10. sor: | 10. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg, hogy egy $T$ hőmérséklet fekete test milyen foton-áramsűrűséggel sugároz! | </noinclude><wlatex># Határozzuk meg, hogy egy $T$ hőmérséklet fekete test milyen foton-áramsűrűséggel sugároz! | ||
| − | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A Planck-féle sugárzási törvényben különítse el a foton energiáját.}}{{Végeredmény|content=$$N = 2{,}404 \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A ''Planck''-féle sugárzási törvényben különítse el a foton energiáját.}}{{Végeredmény|content=$$N = 2{,}404 \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a $[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$ frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítményt átírjuk, hogy megjelenjen a foton $h\nu$ energiája: | + | <wlatex>A ''Planck''-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a $[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$ frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítményt átírjuk, hogy megjelenjen a foton $h\nu$ energiája: |
$$ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu | $$ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu | ||
= h\nu \cdot \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, $$ | = h\nu \cdot \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, $$ | ||
| 21. sor: | 22. sor: | ||
$$ N = \int_0^\infty n(\nu)\,\mathrm{d}\nu | $$ N = \int_0^\infty n(\nu)\,\mathrm{d}\nu | ||
= \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3 \int_0^\infty \frac{x^2}{e^x-1}\,\mathrm{d}x, $$ | = \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3 \int_0^\infty \frac{x^2}{e^x-1}\,\mathrm{d}x, $$ | ||
| − | ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle $\zeta$-függvénnyel, értéke $\Gamma(3)\zeta(3)\approx 2{,}404$. | + | ahol az integrál kifejezhető a [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html ''Riemann''-féle $\zeta$-függvénnyel], értéke $\Gamma(3)\zeta(3)\approx 2{,}404$. |
Például $T=2100\,\mathrm{K}$-en | Például $T=2100\,\mathrm{K}$-en | ||
A lap jelenlegi, 2013. június 13., 22:38-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Kvantummechanikai bevezető |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozzuk meg, hogy egy
hőmérséklet fekete test milyen foton-áramsűrűséggel sugároz!
Megoldás
A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a ![\setbox0\hbox{$[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/f/c/9/fc93547493d2a6e8d98d5ee5959083a9.png)
frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítményt átírjuk, hogy megjelenjen a foton 
energiája:
![\[ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu = h\nu \cdot \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, \]](/images/math/a/c/0/ac0ffb38ed4f2df712a5571ce9ff5de2.png)
ami alapján bevezetjük a teljes térszögbe a frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott fotonszámot:
![\[ n(\nu)\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu. \]](/images/math/b/c/0/bc069d42596b7ba4852bedc10e5989aa.png)
A fotonok teljes száma felületegységenként és időegységenként 
változócserével:
![\[ N = \int_0^\infty n(\nu)\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3 \int_0^\infty \frac{x^2}{e^x-1}\,\mathrm{d}x, \]](/images/math/e/7/e/e7e49779ae5f36a6e684a8733896d57d.png)
ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle 
-függvénnyel, értéke 
.
Például 
-en
![\[ N = 5{,}64\cdot 10^{25}\,\mathrm{\frac{1}{s\,m^2}}, \]](/images/math/e/a/1/ea13424bf117dd39c6fcb68e73a6e3ca.png)
amit értelmezhetünk 
-en 
alatt létrejövő 
térfogatban egyenletesen eloszló kb. 
fotonként.
