„Kvantummechanikai bevezető példák - Fluxuskvantálás szemléletesen” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (Kereshetőség érdekében a hosszú kötőjeles szavakat tagolom) |
|||
| (egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># Alkalmazza a Bohr | + | </noinclude><wlatex># Alkalmazza a ''Bohr''–''Sommerfeld''-féle kvantálási hipotézist körpályán mozgó elektronra és egy lineáris oszcillátorra! Magyarázza meg a szupravezetésnél fellépő „fluxuskvantálás” jelenségét a Bohr<!-- -->–<!-- -->Sommerfeld-féle kvantálási hipotézis segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írja fel és „kvantálja” a fázistérbeli pályaintegrált!}}{{Végeredmény|content=Körpályán mozgó elektronra $p_\varphi=n\hbar$, lineáris oszcillátorra $E=n\omega\hbar$.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>A Bohr-féle hidrogénmodell posztulátumai: | + | <wlatex>A ''Bohr''-féle hidrogénmodell posztulátumai: |
# Az elektron körpályán mozog (centrális erőtér). | # Az elektron körpályán mozog (centrális erőtér). | ||
# Megengedett pályasugarak, stacionárius pályák, ahol a töltéssel rendelkező elektron energiaveszteség nélkül keringhet (a körmozgás gyorsuló mozgás). | # Megengedett pályasugarak, stacionárius pályák, ahol a töltéssel rendelkező elektron energiaveszteség nélkül keringhet (a körmozgás gyorsuló mozgás). | ||
# A megengedett pályákon az elektron impulzusmomentuma kvantált: $L\equiv mvr = n\hbar$ (kvantumhipotézise). | # A megengedett pályákon az elektron impulzusmomentuma kvantált: $L\equiv mvr = n\hbar$ (kvantumhipotézise). | ||
# Két, $E_i$ és $E_f$ energiájú pálya közti átmenetre a fotonkibocsátás/fotonelnyelés $h\nu=E_f-E_i$. | # Két, $E_i$ és $E_f$ energiájú pálya közti átmenetre a fotonkibocsátás/fotonelnyelés $h\nu=E_f-E_i$. | ||
| − | A '''körpályán mozgó elektronra''' vonatkozó 3. posztulátumot | + | A '''körpályán mozgó elektronra''' vonatkozó 3. posztulátumot felírhatjuk ''Lagrange''-formalizmusban a rendszer $\mathcal{L}=\frac12 m r^2 \dot{\varphi}$ ún. ''Lagrange''-függvénye segítségével. Eszerint $p_\varphi$ kanonikus impulzusmomentum stacionárius pályára vett fázistérbeli integrálja kvantált: |
$$ \oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \,p_\varphi = nh, $$ | $$ \oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \,p_\varphi = nh, $$ | ||
ahol $p_\varphi=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}}=mr^2\dot{\varphi} = mvr, $ | ahol $p_\varphi=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}}=mr^2\dot{\varphi} = mvr, $ | ||
innen $p_\varphi=n\hbar$. | innen $p_\varphi=n\hbar$. | ||
| − | A '''lineáris oszcillátor''' Lagrange- és Hamilton-függvénye rendre | + | A '''lineáris oszcillátor''' ''Lagrange''- és ''Hamilton''-függvénye rendre |
| − | $$ \mathcal{L}=\frac12 m \dot{x}^2 - \frac12 m \omega^2 x^2 | + | $$ \mathcal{L}=\frac12 m \dot{x}^2 - \frac12 m \omega^2 x^2 \qquad\text{és}\qquad \mathcal{H}=\frac{p^2}{2m} + \frac12 m \omega^2 x^2, $$ |
| − | ahol $p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}$ kanonikus impulzus fázistérbeli integrálja | + | ahol $p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}$ kanonikus impulzus. $p$ fázistérbeli integrálja |
az $E$ energiájú pályán a $\mathcal{H}=E$ egyenletű | az $E$ energiájú pályán a $\mathcal{H}=E$ egyenletű | ||
(azaz $\frac{p^2}{\left(\sqrt{2mE}\right)^2} + \frac{x^2}{\left(\sqrt{\textstyle \frac{2E}{m \omega^2}}\right)^2}=1$ egyenletű) | (azaz $\frac{p^2}{\left(\sqrt{2mE}\right)^2} + \frac{x^2}{\left(\sqrt{\textstyle \frac{2E}{m \omega^2}}\right)^2}=1$ egyenletű) | ||
| − | ellipszis területét adja | + | ellipszis területét adja. A pályaintegrál legyen az előző esethez hasonlóan kvantált: |
$$ \oint p\,\mathrm{d}x = \pi \sqrt{2mE}\sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}} = \pi \frac{2E}{\omega} = nh, $$ | $$ \oint p\,\mathrm{d}x = \pi \sqrt{2mE}\sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}} = \pi \frac{2E}{\omega} = nh, $$ | ||
amiből $E=n\omega\hbar$. | amiből $E=n\omega\hbar$. | ||
| + | |||
| + | A fluxuskvantálás magyarázatához fel kell még használnunk, hogy a kritikus hőmérséklet alatt elsőfajú szupravezető belsejében mind a mágneses tér, mind az áramerősség nulla, áramok csak a felületen folynak. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. július 1., 13:38-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Kvantummechanikai bevezető |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Alkalmazza a Bohr–Sommerfeld-féle kvantálási hipotézist körpályán mozgó elektronra és egy lineáris oszcillátorra! Magyarázza meg a szupravezetésnél fellépő „fluxuskvantálás” jelenségét a Bohr–Sommerfeld-féle kvantálási hipotézis segítségével!
Megoldás
A Bohr-féle hidrogénmodell posztulátumai:
- Az elektron körpályán mozog (centrális erőtér).
- Megengedett pályasugarak, stacionárius pályák, ahol a töltéssel rendelkező elektron energiaveszteség nélkül keringhet (a körmozgás gyorsuló mozgás).
- A megengedett pályákon az elektron impulzusmomentuma kvantált:
(kvantumhipotézise).
- Két,
és 
energiájú pálya közti átmenetre a fotonkibocsátás/fotonelnyelés 
.
A körpályán mozgó elektronra vonatkozó 3. posztulátumot felírhatjuk Lagrange-formalizmusban a rendszer 
ún. Lagrange-függvénye segítségével. Eszerint 
kanonikus impulzusmomentum stacionárius pályára vett fázistérbeli integrálja kvantált:
![\[ \oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \,p_\varphi = nh, \]](/images/math/d/8/e/d8eb8b5fa28e5360b74150d252ca9b38.png)
ahol 
innen 
.
A lineáris oszcillátor Lagrange- és Hamilton-függvénye rendre
![\[ \mathcal{L}=\frac12 m \dot{x}^2 - \frac12 m \omega^2 x^2 \qquad\text{és}\qquad \mathcal{H}=\frac{p^2}{2m} + \frac12 m \omega^2 x^2, \]](/images/math/b/7/8/b78c54e599964f0c3342aac79e4bbb6e.png)
ahol 
kanonikus impulzus. 
fázistérbeli integrálja
az 
energiájú pályán a 
egyenletű
(azaz 
egyenletű)
ellipszis területét adja. A pályaintegrál legyen az előző esethez hasonlóan kvantált:
![\[ \oint p\,\mathrm{d}x = \pi \sqrt{2mE}\sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}} = \pi \frac{2E}{\omega} = nh, \]](/images/math/d/2/5/d259600ab9ede03f0b6848eabdce3fd2.png)
amiből 
.
A fluxuskvantálás magyarázatához fel kell még használnunk, hogy a kritikus hőmérséklet alatt elsőfajú szupravezető belsejében mind a mágneses tér, mind az áramerősség nulla, áramok csak a felületen folynak.
