„Kvantummechanikai bevezető példák - Emissziós spektrum korrekciója visszalökődéssel” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(sebességirányok helyett abszorpció/emisszió) |
a (Szöveg koherenssé tétele) |
||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= | + | </noinclude><wlatex># Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Alkalmazza az energia- és az impulzusmegmaradás tételét.}}{{Végeredmény|content=Az új frekvencia $$\nu' \approx \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h\nu}{Mc^2}},$$ ahol $\nu$ a visszalökődés nélküli foton frekvenciája, $M$ az atom tömege.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>Oldjuk meg a feladatot általánosabban, fotonkibocsátásra ($\nu'>0$) és -elnyelésre ($\nu'<0$), $1$-gyel | + | <wlatex>Oldjuk meg a feladatot általánosabban, fotonkibocsátásra ($\nu'>0$) és -elnyelésre ($\nu'<0$), $1$-gyel az atom kezdő, $2$-vel a végállapotát indexelve. Az energiamegmaradás elve szerint |
$$ E_1 + \frac12 Mv_1^2 = E_2 + \frac12 M v_2^2 + h\nu', $$ | $$ E_1 + \frac12 Mv_1^2 = E_2 + \frac12 M v_2^2 + h\nu', $$ | ||
− | ahol $E$ az elektronpálya energiája, $M$ az atom tömege, $\nu'$ a foton frekvenciája. Jelölje $h\nu = E_1-E_2$ a korrekció nélkül kibocsátott ($\nu>0$) vagy elnyelt ($\nu<0$) foton energiáját. | + | ahol $E$ az elektronpálya energiája, $M$ az atom tömege, $\nu'$ a foton frekvenciája. Jelölje $h\nu = E_1-E_2$ a visszalökődési korrekció nélkül kibocsátott ($\nu>0$) vagy elnyelt ($\nu<0$) foton energiáját. |
Az impulzusmegmaradás szerint | Az impulzusmegmaradás szerint | ||
$$ M v_1 = M v_2 + \frac{h\nu'}{c}, $$ | $$ M v_1 = M v_2 + \frac{h\nu'}{c}, $$ | ||
19. sor: | 20. sor: | ||
Az energiamegmaradásból fejezzük ki a korrigált és az „eredeti” foton energiájának különbségét: | Az energiamegmaradásból fejezzük ki a korrigált és az „eredeti” foton energiájának különbségét: | ||
− | $$ h(\nu-\nu | + | $$ h(\nu'-\nu) = \frac12 M(v_1-v_2)(v_1+v_2) = \frac12 \frac{h\nu'}{c}(v_1+v_2), $$ |
ahol az utolsó lépésben az impulzusmegmaradást használtuk. Ismét az impulzusmegmaradásból | ahol az utolsó lépésben az impulzusmegmaradást használtuk. Ismét az impulzusmegmaradásból | ||
$$ v_2=v_1-\frac{h\nu'}{Mc}, $$ | $$ v_2=v_1-\frac{h\nu'}{Mc}, $$ | ||
amivel | amivel | ||
− | $$ h(\nu-\nu | + | $$ h(\nu'-\nu) = \left(\frac{h\nu'}{c}v_1 - \frac{(h\nu')^2}{2Mc^2} \right). $$ |
Itt két effektus figyelhető meg: | Itt két effektus figyelhető meg: | ||
− | * a fotont kibocsátó atom sebessége nagy ($|v_1|\approx c$) vagy az atomot rögzített nem tekintjük ($M\to\infty$), akkor a frekvencia a '''Doppler-effektusnak megfelelően''' tolódik el | + | * a fotont kibocsátó atom sebessége nagy ($|v_1|\approx c$) vagy az atomot rögzített nem tekintjük ($M\to\infty$), akkor a frekvencia a '''''Doppler''-effektusnak megfelelően''' $$ \nu' = \frac{\nu}{1-\displaystyle \frac{v_1}{c}} $$ módon tolódik el; |
− | * az álló atom által ($v_1=0$) kibocsátott foton energiája kisebb, mint a rögzített atomra végzett számításból adódna | + | * az álló atom által ($v_1=0$) kibocsátott foton energiája kisebb, mint a rögzített atomra végzett számításból adódna. Az átmenet energiájának egy részét a '''visszalökődéssel''' az atommag viszi el kinetikus energia formájában, a foton frekvenciája $$ \nu' = \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h\nu'}{Mc^2}} \approx \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h\nu}{Mc^2}}. $$ A számításból adódik, hogy abszorpció létrejöttéhez nagyobb abszolút értékű fotonenergiára van szükség, mint amit a kibocsátott fotonok hordoznak; ez a hatás mérhető, ugyanis alacsony hőmérsékleten szilárd testek atomjai egyre inkább képesek visszalökődés nélküli abszorpcióra. A jelenséget felfedezőjéről '''''Mössbauer''-effektusnak''' nevezzük. |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. május 29., 19:47-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!
Megoldás
Oldjuk meg a feladatot általánosabban, fotonkibocsátásra () és -elnyelésre (), -gyel az atom kezdő, -vel a végállapotát indexelve. Az energiamegmaradás elve szerint
ahol az elektronpálya energiája, az atom tömege, a foton frekvenciája. Jelölje a visszalökődési korrekció nélkül kibocsátott () vagy elnyelt () foton energiáját. Az impulzusmegmaradás szerint
ahol a fotont pozitív irányba haladónak, az atommag kezdeti- ill. végsebességét előjelesen értelmezzük.
Az energiamegmaradásból fejezzük ki a korrigált és az „eredeti” foton energiájának különbségét:
ahol az utolsó lépésben az impulzusmegmaradást használtuk. Ismét az impulzusmegmaradásból
amivel
Itt két effektus figyelhető meg:
- a fotont kibocsátó atom sebessége nagy () vagy az atomot rögzített nem tekintjük (), akkor a frekvencia a Doppler-effektusnak megfelelően módon tolódik el;
- az álló atom által () kibocsátott foton energiája kisebb, mint a rögzített atomra végzett számításból adódna. Az átmenet energiájának egy részét a visszalökődéssel az atommag viszi el kinetikus energia formájában, a foton frekvenciája A számításból adódik, hogy abszorpció létrejöttéhez nagyobb abszolút értékű fotonenergiára van szükség, mint amit a kibocsátott fotonok hordoznak; ez a hatás mérhető, ugyanis alacsony hőmérsékleten szilárd testek atomjai egyre inkább képesek visszalökődés nélküli abszorpcióra. A jelenséget felfedezőjéről Mössbauer-effektusnak nevezzük.