„Kvantummechanikai bevezető példák - Emissziós spektrum korrekciója visszalökődéssel” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(előjelek ésszerűsítése + kpéletek hozzáadása) |
a (Szöveg koherenssé tétele) |
||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= | + | </noinclude><wlatex># Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Alkalmazza az energia- és az impulzusmegmaradás tételét.}}{{Végeredmény|content=Az új frekvencia $$\nu' \approx \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h\nu}{Mc^2}},$$ ahol $\nu$ a visszalökődés nélküli foton frekvenciája, $M$ az atom tömege.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>Oldjuk meg a feladatot általánosabban, fotonkibocsátásra ($\nu'>0$) és -elnyelésre ($\nu'<0$), $1$-gyel | + | <wlatex>Oldjuk meg a feladatot általánosabban, fotonkibocsátásra ($\nu'>0$) és -elnyelésre ($\nu'<0$), $1$-gyel az atom kezdő, $2$-vel a végállapotát indexelve. Az energiamegmaradás elve szerint |
$$ E_1 + \frac12 Mv_1^2 = E_2 + \frac12 M v_2^2 + h\nu', $$ | $$ E_1 + \frac12 Mv_1^2 = E_2 + \frac12 M v_2^2 + h\nu', $$ | ||
− | ahol $E$ az elektronpálya energiája, $M$ az atom tömege, $\nu'$ a foton frekvenciája. Jelölje $h\nu = E_1-E_2$ a korrekció nélkül kibocsátott ($\nu>0$) vagy elnyelt ($\nu<0$) foton energiáját. | + | ahol $E$ az elektronpálya energiája, $M$ az atom tömege, $\nu'$ a foton frekvenciája. Jelölje $h\nu = E_1-E_2$ a visszalökődési korrekció nélkül kibocsátott ($\nu>0$) vagy elnyelt ($\nu<0$) foton energiáját. |
Az impulzusmegmaradás szerint | Az impulzusmegmaradás szerint | ||
$$ M v_1 = M v_2 + \frac{h\nu'}{c}, $$ | $$ M v_1 = M v_2 + \frac{h\nu'}{c}, $$ | ||
25. sor: | 26. sor: | ||
$$ h(\nu'-\nu) = \left(\frac{h\nu'}{c}v_1 - \frac{(h\nu')^2}{2Mc^2} \right). $$ | $$ h(\nu'-\nu) = \left(\frac{h\nu'}{c}v_1 - \frac{(h\nu')^2}{2Mc^2} \right). $$ | ||
Itt két effektus figyelhető meg: | Itt két effektus figyelhető meg: | ||
− | * a fotont kibocsátó atom sebessége nagy ($|v_1|\approx c$) vagy az atomot rögzített nem tekintjük ($M\to\infty$), akkor a frekvencia a '''Doppler-effektusnak megfelelően''' $$ \nu' = \frac{\nu}{1-\displaystyle \frac{v_1}{c}} $$ módon tolódik el | + | * a fotont kibocsátó atom sebessége nagy ($|v_1|\approx c$) vagy az atomot rögzített nem tekintjük ($M\to\infty$), akkor a frekvencia a '''''Doppler''-effektusnak megfelelően''' $$ \nu' = \frac{\nu}{1-\displaystyle \frac{v_1}{c}} $$ módon tolódik el; |
− | * az álló atom által ($v_1=0$) kibocsátott foton energiája kisebb, mint a rögzített atomra végzett számításból adódna. Az átmenet energiájának egy részét a '''visszalökődéssel''' az atommag viszi el kinetikus energia formájában, a foton frekvenciája $$ \nu' = \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h | + | * az álló atom által ($v_1=0$) kibocsátott foton energiája kisebb, mint a rögzített atomra végzett számításból adódna. Az átmenet energiájának egy részét a '''visszalökődéssel''' az atommag viszi el kinetikus energia formájában, a foton frekvenciája $$ \nu' = \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h\nu'}{Mc^2}} \approx \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h\nu}{Mc^2}}. $$ A számításból adódik, hogy abszorpció létrejöttéhez nagyobb abszolút értékű fotonenergiára van szükség, mint amit a kibocsátott fotonok hordoznak; ez a hatás mérhető, ugyanis alacsony hőmérsékleten szilárd testek atomjai egyre inkább képesek visszalökődés nélküli abszorpcióra. A jelenséget felfedezőjéről '''''Mössbauer''-effektusnak''' nevezzük. |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. május 29., 19:47-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!
Megoldás
Oldjuk meg a feladatot általánosabban, fotonkibocsátásra () és -elnyelésre (
),
-gyel az atom kezdő,
-vel a végállapotát indexelve. Az energiamegmaradás elve szerint
![\[ E_1 + \frac12 Mv_1^2 = E_2 + \frac12 M v_2^2 + h\nu', \]](/images/math/1/e/b/1eb135f3cae5bfc3a2220d99d7ae0788.png)
ahol az elektronpálya energiája,
az atom tömege,
a foton frekvenciája. Jelölje
a visszalökődési korrekció nélkül kibocsátott (
) vagy elnyelt (
) foton energiáját.
Az impulzusmegmaradás szerint
![\[ M v_1 = M v_2 + \frac{h\nu'}{c}, \]](/images/math/1/c/a/1ca01d42ed06008ec51a577f4577b6e3.png)
ahol a fotont pozitív irányba haladónak, az atommag kezdeti- ill.
végsebességét előjelesen értelmezzük.
Az energiamegmaradásból fejezzük ki a korrigált és az „eredeti” foton energiájának különbségét:
![\[ h(\nu'-\nu) = \frac12 M(v_1-v_2)(v_1+v_2) = \frac12 \frac{h\nu'}{c}(v_1+v_2), \]](/images/math/3/d/c/3dc0e8b8b670f5b37588ec708c290af1.png)
ahol az utolsó lépésben az impulzusmegmaradást használtuk. Ismét az impulzusmegmaradásból
![\[ v_2=v_1-\frac{h\nu'}{Mc}, \]](/images/math/5/5/8/558bf5aa606c033d7a46bd53ef06dc10.png)
amivel
![\[ h(\nu'-\nu) = \left(\frac{h\nu'}{c}v_1 - \frac{(h\nu')^2}{2Mc^2} \right). \]](/images/math/d/4/d/d4d78428264480417ed3bc0fd166870f.png)
Itt két effektus figyelhető meg:
- a fotont kibocsátó atom sebessége nagy (
) vagy az atomot rögzített nem tekintjük (
), akkor a frekvencia a Doppler-effektusnak megfelelően
módon tolódik el; - az álló atom által (
) kibocsátott foton energiája kisebb, mint a rögzített atomra végzett számításból adódna. Az átmenet energiájának egy részét a visszalökődéssel az atommag viszi el kinetikus energia formájában, a foton frekvenciája
A számításból adódik, hogy abszorpció létrejöttéhez nagyobb abszolút értékű fotonenergiára van szükség, mint amit a kibocsátott fotonok hordoznak; ez a hatás mérhető, ugyanis alacsony hőmérsékleten szilárd testek atomjai egyre inkább képesek visszalökődés nélküli abszorpcióra. A jelenséget felfedezőjéről Mössbauer-effektusnak nevezzük.