„Kvantummechanikai bevezető példák - Foton és elektron kinetikus energiája a hullámszám függvényében” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (Szöveg koherenssé tétele) |
a (Szöveg koherenssé tétele) |
||
14. sor: | 14. sor: | ||
<wlatex>A relativisztikus összenergia | <wlatex>A relativisztikus összenergia | ||
$$ E(\mathbf{p}) = \sqrt{m_0^2c^4+c^2p^2}, $$ | $$ E(\mathbf{p}) = \sqrt{m_0^2c^4+c^2p^2}, $$ | ||
− | ahol $m_0$ a részecske nyugalmi tömege, $\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$ pedig a relativisztikus impulzusa kifejezve a $\mathbf{k}$ hullámszámmal. Ebből kivonva a nyugalmi energiát a kinetikus | + | ahol $m_0$ a részecske nyugalmi tömege, $\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$ pedig a relativisztikus impulzusa kifejezve a $\mathbf{k}$ hullámszámmal. Ebből kivonva a nyugalmi energiát a kinetikus energiát kapjuk: |
$$ E_\text{kin}(\mathbf{k}) = E(\mathbf{\hbar k}) - m_0c^2. $$ | $$ E_\text{kin}(\mathbf{k}) = E(\mathbf{\hbar k}) - m_0c^2. $$ | ||
− | A foton nyugalmi tömege | + | A foton nyugalmi tömege nulla, ezért az $$ E_\text{kin}^\text{foton}(\mathbf{k}) = \hbar |\mathbf{k}| c $$ diszperziós relációja lineáris. |
[[Fájl:Relativisztikus összenergia.svg|400px]] [[Fájl:Relativisztikus kinetikus energia.svg|400px]] | [[Fájl:Relativisztikus összenergia.svg|400px]] [[Fájl:Relativisztikus kinetikus energia.svg|400px]] | ||
24. sor: | 24. sor: | ||
= m_0c^2 \left[ 1+\frac12\left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2 + O(p^4) - 1 \right] | = m_0c^2 \left[ 1+\frac12\left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2 + O(p^4) - 1 \right] | ||
=\frac{p^2}{2m_0} + O(p^4), $$ | =\frac{p^2}{2m_0} + O(p^4), $$ | ||
− | és visszakapjuk a newtoni viselkedést a négyzetes diszperziós relációval. | + | és visszakapjuk a ''newtoni'' viselkedést a négyzetes diszperziós relációval. |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. június 13., 23:35-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Hasonlítsa össze a foton és az elektron kinetikus energia-hullámszám görbéjét! Elemezze a lehetséges jellegzetességeket relativisztikus, és nemrelativisztikus esetekben!
Megoldás
A relativisztikus összenergia
![\[ E(\mathbf{p}) = \sqrt{m_0^2c^4+c^2p^2}, \]](/images/math/9/1/4/914b0acefe24246b07cdcb2a24208280.png)
ahol a részecske nyugalmi tömege,
pedig a relativisztikus impulzusa kifejezve a
hullámszámmal. Ebből kivonva a nyugalmi energiát a kinetikus energiát kapjuk:
![\[ E_\text{kin}(\mathbf{k}) = E(\mathbf{\hbar k}) - m_0c^2. \]](/images/math/2/a/a/2aa1f0a1a273460c1a5530366fb31d21.png)
![\[ E_\text{kin}^\text{foton}(\mathbf{k}) = \hbar |\mathbf{k}| c \]](/images/math/2/e/9/2e913b96ff35f86999608037ebd476c2.png)
Kis sebességekre (nemrelativisztikus tartomány) a kinetikus energia sorba fejthető
![\[ E_\text{kin}(\mathbf{k}) = m_0c^2 \left[ \sqrt{1+\left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2} - 1 \right] = m_0c^2 \left[ 1+\frac12\left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2 + O(p^4) - 1 \right] =\frac{p^2}{2m_0} + O(p^4), \]](/images/math/a/e/8/ae8ea1854c6e714cc996241404554a4a.png)
és visszakapjuk a newtoni viselkedést a négyzetes diszperziós relációval.