„Kvantummechanikai bevezető példák - Compton-szórás energiaviszonyai” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
9. sor: 9. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># Határozza meg, hogy a Compton-szórás esetén a beeső foton energiájának hány százalékát adja le az elektronnak!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</noinclude><wlatex># Határozza meg, hogy a Compton-szórás esetén a beeső foton energiájának hány százalékát adja le az elektronnak!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A Compton-szórás levezetéséhez írja fel a relativisztikus energia- és impulzusmegmaradást.}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
 
<wlatex>A Compton-szórás a fotonok elektronokon való szóródásának relativisztikus elmélete. Egy részecske relativisztikus energiája
 
<wlatex>A Compton-szórás a fotonok elektronokon való szóródásának relativisztikus elmélete. Egy részecske relativisztikus energiája
21. sor: 21. sor:
 
Az impulzusmegmaradás szerint (ld. ábra)
 
Az impulzusmegmaradás szerint (ld. ábra)
 
$$ {p'_e}^2 = p_f^2 + {p'_f}^2 - 2 p_f p'_f \cos \vartheta, $$
 
$$ {p'_e}^2 = p_f^2 + {p'_f}^2 - 2 p_f p'_f \cos \vartheta, $$
−
amivel az előző egyenlet
+
ahol $\vartheta$ a foton eredeti irányától való eltéréséne szöge, ezzel az előző egyenlet
 
$$ -2(1-\cos \vartheta)p_f p'_f c^2 + 2(p_f c)(m_e c^2) -2(p'_f c)(m_e c^2) = 0 $$
 
$$ -2(1-\cos \vartheta)p_f p'_f c^2 + 2(p_f c)(m_e c^2) -2(p'_f c)(m_e c^2) = 0 $$
 
alakot ölti és
 
alakot ölti és
27. sor: 27. sor:
  
 
A foton által átadott energiahányad
 
A foton által átadott energiahányad
−
 
+
$$ \eta = \frac{|\Delta E_f|}{E_f} = \frac{p_f c - p'_f c }{p_f c}
 +
    = 1 - \left(\frac{p_f(1-\cos\vartheta)}{m_e c}+1\right)^{-1}. $$
 +
Az $(1-\eta)$ kifejezés szerepel a Klein-Nishina-formulában is, ami a fotonszórás differenciális hatáskeresztmetszetét adja meg.
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2013. április 23., 09:54-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kvantummechanikai bevezető
Feladatok listája:
  1. Nap felszíni hőmérséklete
  2. Izzólámpa hatásfoka
  3. Fekete test
  4. Tantál kilépési munkája
  5. Compton-szórás
  6. Compton-szórás szabadon
  7. Fluxuskvantálás
  8. Bohr-modell
  9. Rel. tömegnövekedés
  10. Kéttest korrekció
  11. Visszalökődés
  12. Korrespondencia-elv
  13. Foton és elektron Ekin(k)
  14. Schrödinger-egyenlet
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Határozza meg, hogy a Compton-szórás esetén a beeső foton energiájának hány százalékát adja le az elektronnak!

Megoldás

A Compton-szórás a fotonok elektronokon való szóródásának relativisztikus elmélete. Egy részecske relativisztikus energiája

\[ E = \left(mc^2\right)^2+\left(pc\right)^2, \]

ahol \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a részecske nyugalmi tömege, \setbox0\hbox{$p=\frac{\left(mv\right)^2}{1-\textstyle \left(\frac{v}{c}\right)^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% relativisztikus impulzusa.

Vizsgáljuk azt az esetet, amikor a \setbox0\hbox{$p_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kezdeti impulzusú foton egy nyugalomban lévő (\setbox0\hbox{$p_e=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) elektronon szóródik (ezt a koordinátarendszer megfelelő választásával könnyen elérhetjük). Az energiamegmaradás szerint

\[ p_f c + m_e c^2 = p'_f c + \sqrt{\left(m_e c^2\right)^2+\left(p'_e c\right)^2}, \]
\[ \left(p_f c - p'_f c + m_e c^2\right)^2 = \left(m_e c^2\right)^2+\left(p'_e c\right)^2. \]

Az impulzusmegmaradás szerint (ld. ábra)

\[ {p'_e}^2 = p_f^2 + {p'_f}^2 - 2 p_f p'_f \cos \vartheta, \]

ahol \setbox0\hbox{$\vartheta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a foton eredeti irányától való eltéréséne szöge, ezzel az előző egyenlet

\[ -2(1-\cos \vartheta)p_f p'_f c^2 + 2(p_f c)(m_e c^2) -2(p'_f c)(m_e c^2) = 0 \]

alakot ölti és

\[ 1-\cos \vartheta = \frac{m_e c}{p'_f} - \frac{m_e c}{p_f} = \frac{m_e c}{h} (\lambda'-\lambda). \]

A foton által átadott energiahányad

\[ \eta = \frac{|\Delta E_f|}{E_f} = \frac{p_f c - p'_f c }{p_f c} = 1 - \left(\frac{p_f(1-\cos\vartheta)}{m_e c}+1\right)^{-1}. \]

Az \setbox0\hbox{$(1-\eta)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifejezés szerepel a Klein-Nishina-formulában is, ami a fotonszórás differenciális hatáskeresztmetszetét adja meg.

A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Kvantummechanikai_bevezető_példák_-_Compton-szórás_energiaviszonyai&oldid=9343”