„Kvantummechanikai bevezető példák - Fluxuskvantálás szemléletesen” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 15. sor: | 15. sor: | ||
# megengedett pályasugarak, stacionárius pályák, ahol energiakisugárzás nélkül keringhet (a körmozgás gyorsuló mozgás) | # megengedett pályasugarak, stacionárius pályák, ahol energiakisugárzás nélkül keringhet (a körmozgás gyorsuló mozgás) | ||
# ezek a sugarak kvantáltak $L\equiv mvr = n\hbar$ | # ezek a sugarak kvantáltak $L\equiv mvr = n\hbar$ | ||
| − | # pályák közti | + | # $E_i$ és $E_f$ energiájú pályák közti átmenetre $h\nu=E_f-E_i$ |
| − | A 3. hipotézist úgy fogalmazhatjuk át a Lagrange-formalizmusban, hogy a rendszer Lagrange-függvénye $\mathcal{L}=\frac12 m r^2 \dot{\ | + | A '''körpályán mozgó elektronra''' vonatkozó 3. hipotézist úgy fogalmazhatjuk át a Lagrange-formalizmusban, hogy a rendszer Lagrange-függvénye $\mathcal{L}=\frac12 m r^2 \dot{\varphi}$. A $p_\varphi$ kanonikus impulzusmomentum fázistérbeli integrálja a stacionárius pályán kvantált: |
| − | $$ \oint p_\ | + | $$ \oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \,p_\varphi = nh, $$ |
| − | ahol $p_\ | + | ahol $p_\varphi=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}}=mr^2\dot{\varphi} = mvr, $ |
| − | innen $p_\ | + | innen $p_\varphi=n\hbar$. |
| − | + | ||
| + | A '''lineáris oszcillátor''' Lagrange- és Hamilton-függvénye rendre | ||
| + | $$ \mathcal{L}=\frac12 m \dot{x}^2 - \frac12 m \omega^2 x^2, \qquad \mathcal{H}=\frac{p^2}{2m} + \frac12 m \omega^2 x^2, $$ | ||
| + | ahol $p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}$ kanonikus impulzus integrálja a fázistérbeli integrálja az $E$ energiájú pályán egy ellipszis területét számítja, aminek egyenlete $\mathcal{H}=E$ vagyis $\frac{p^2}{(\sqrt{2mE})^2} + \frac{x^2}{\left(\sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}}\right)^2}=1$: | ||
| + | $$ \oint p\,\mathrm{d}x = \pi \sqrt{2mE}\sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}} = \pi \frac{2E}{\omega} = nh, $$ | ||
| + | kvantált és $E=n\omega\hbar$. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 23., 15:36-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Kvantummechanikai bevezető |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Alkalmazza a Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási hipotézist körpályán mozgó elektronra és egy lineáris oszcillátorra! Magyarázza meg a szupravezetésnél fellépő „fluxuskvantálás” jelenségét a Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási hipotézis segítségével!
Megoldás
A Bohr-féle hidrogénmodell kvantumhipotézisei
- az elektron körpályán mozog (centrális erőtér)
- megengedett pályasugarak, stacionárius pályák, ahol energiakisugárzás nélkül keringhet (a körmozgás gyorsuló mozgás)
- ezek a sugarak kvantáltak
-
és 
energiájú pályák közti átmenetre 
A körpályán mozgó elektronra vonatkozó 3. hipotézist úgy fogalmazhatjuk át a Lagrange-formalizmusban, hogy a rendszer Lagrange-függvénye 
. A 
kanonikus impulzusmomentum fázistérbeli integrálja a stacionárius pályán kvantált:
![\[ \oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \,p_\varphi = nh, \]](/images/math/d/8/e/d8eb8b5fa28e5360b74150d252ca9b38.png)
ahol 
innen 
.
A lineáris oszcillátor Lagrange- és Hamilton-függvénye rendre
![\[ \mathcal{L}=\frac12 m \dot{x}^2 - \frac12 m \omega^2 x^2, \qquad \mathcal{H}=\frac{p^2}{2m} + \frac12 m \omega^2 x^2, \]](/images/math/f/b/1/fb1bb47a3f43c6ff7433851f32dbd0b9.png)
ahol 
kanonikus impulzus integrálja a fázistérbeli integrálja az 
energiájú pályán egy ellipszis területét számítja, aminek egyenlete 
vagyis 
:
![\[ \oint p\,\mathrm{d}x = \pi \sqrt{2mE}\sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}} = \pi \frac{2E}{\omega} = nh, \]](/images/math/d/2/5/d259600ab9ede03f0b6848eabdce3fd2.png)
kvantált és 
.
