„Kvantummechanikai bevezető példák - Izzólámpa látható tartományban kibocsátott teljesítménye” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a |
a (Szöveg koherenssé tétele) |
||
10. sor: | 10. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb. $1800\,\mathrm{^\circ C}$. Az emberi szem a $4-7\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ hullámhossz tartományban lát. Becsülje meg az izzólámpa „hatásfokát”! | </noinclude><wlatex># Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb. $1800\,\mathrm{^\circ C}$. Az emberi szem a $4-7\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ hullámhossz tartományban lát. Becsülje meg az izzólámpa „hatásfokát”! | ||
− | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használja a Planck-féle sugárzási törvényt, a látható intervallumban alkalmazzon közelítést.}}{{Végeredmény|content=$$\frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}_t}=0{,}355\%$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használja a ''Planck''-féle sugárzási törvényt, a látható intervallumban alkalmazzon közelítést.}}{{Végeredmény|content=$$\frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}_t}=0{,}355\%$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a $[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$ frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítmény | + | <wlatex>A ''Planck''-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a $[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$ frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítmény |
$$ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, $$ | $$ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, $$ | ||
ahol bevezetjük az $x=\frac{h\nu}{kT}$ változót, és kiszámítjuk az összes kisugárzott teljesítményt: | ahol bevezetjük az $x=\frac{h\nu}{kT}$ változót, és kiszámítjuk az összes kisugárzott teljesítményt: | ||
$$ \mathcal{E}_t = \int_0^\infty \mathcal{E}_\nu \mathrm{d}\nu | $$ \mathcal{E}_t = \int_0^\infty \mathcal{E}_\nu \mathrm{d}\nu | ||
= \frac{8\pi}{c^2} \left(\frac{kT}{h}\right)^4 h \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} \,\mathrm{d}x, $$ | = \frac{8\pi}{c^2} \left(\frac{kT}{h}\right)^4 h \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} \,\mathrm{d}x, $$ | ||
− | ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle $\zeta$-függvénnyel, értéke $\Gamma(4)\zeta(4)\approx 6{,}5$. | + | ahol az integrál kifejezhető a [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html ''Riemann''-féle $\zeta$-függvénnyel], értéke $\Gamma(4)\zeta(4)\approx 6{,}5$. |
A teljes térszögbe a kicsi látható $[\nu_0-\frac12\Delta\nu,\nu_0+\frac12\Delta\nu]$ tartományban felületegységenként kisugárzott teljesítményt közelíthetjük: | A teljes térszögbe a kicsi látható $[\nu_0-\frac12\Delta\nu,\nu_0+\frac12\Delta\nu]$ tartományban felületegységenként kisugárzott teljesítményt közelíthetjük: | ||
$$ \Delta \mathcal{E} = \mathcal{E}_{\nu_0} \Delta\nu, $$ | $$ \Delta \mathcal{E} = \mathcal{E}_{\nu_0} \Delta\nu, $$ | ||
− | ahol $\nu_0=6 \cdot 10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$ és $\Delta \nu=4 \cdot 10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$ választással élünk ($\lambda_0=500\,\mathrm{nm}$ és $\Delta\lambda=375\,\mathrm{nm}$ amikor a referenciaérték intervallumközép). | + | ahol $\nu_0=6 \cdot 10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$ és $\Delta \nu=4 \cdot 10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$ választással élünk ($c=\lambda\nu$, $\lambda_0=500\,\mathrm{nm}$ és $\Delta\lambda=375\,\mathrm{nm}$ amikor a referenciaérték intervallumközép). |
Ezekkel a „hatásfok” | Ezekkel a „hatásfok” |
A lap 2013. május 29., 12:50-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb. . Az emberi szem a hullámhossz tartományban lát. Becsülje meg az izzólámpa „hatásfokát”!
Megoldás
A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítmény
ahol bevezetjük az változót, és kiszámítjuk az összes kisugárzott teljesítményt:
ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle -függvénnyel, értéke .
A teljes térszögbe a kicsi látható tartományban felületegységenként kisugárzott teljesítményt közelíthetjük:
ahol és választással élünk (, és amikor a referenciaérték intervallumközép).
Ezekkel a „hatásfok”