„Kvantummechanikai bevezető példák - Schrödinger-egyenlet megoldása hidrogénatomban” változatai közötti eltérés
(Feladat megoldása.) |
(Hibajavítás. Szöveg koherenssé tétele.) |
||
23. sor: | 23. sor: | ||
Az elektron megtalálási valószínűsége $[r,r+\mathrm{d}r]$ intervallumban tehát | Az elektron megtalálási valószínűsége $[r,r+\mathrm{d}r]$ intervallumban tehát | ||
$$ \int_0^{2\pi} \int_0^\pi |\Psi(r,\vartheta,\varphi)|^2 r^2 \sin \vartheta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\vartheta \,\mathrm{d}\varphi | $$ \int_0^{2\pi} \int_0^\pi |\Psi(r,\vartheta,\varphi)|^2 r^2 \sin \vartheta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\vartheta \,\mathrm{d}\varphi | ||
− | \sim r\cdot R(r)\,\mathrm{d}r $$ | + | \sim \left[r\cdot R(r)\right]^2 \,\mathrm{d}r $$ |
A legvalószínűbb sugarat $r\cdot R(r)$ szélsőértékhelye adja: | A legvalószínűbb sugarat $r\cdot R(r)$ szélsőértékhelye adja: | ||
− | $$ 0 = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \ | + | $$ 0 = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \Big(r\cdot R(r)\Big) \right|_{r_\text{lv.}} |
− | = | + | = A_n \left[ n\left(\frac{r_\text{lv.}}{a_0}\right)^{n-1} - \frac{1}{n}\left(\frac{r_\text{lv.}}{a_0}\right)^n \right] e^{\textstyle -\frac{r_\text{lv.}}{n a_0}}, $$ |
ami alapján $r_\text{lv.}=n^2 a_0$. Az alapállapotú hidrogénatomban a legvalószínűbb sugár éppen a ''Bohr''-sugár. | ami alapján $r_\text{lv.}=n^2 a_0$. Az alapállapotú hidrogénatomban a legvalószínűbb sugár éppen a ''Bohr''-sugár. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. május 29., 20:56-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozza meg a Schrödinger-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!
Megoldás
A Schrödinger-egyenlet
aminek megoldását alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete () az elektron megtalálási valószínűsége egy adott térfogatelemben. A Schrödinger-egyenlet megoldása a szögfüggő tényezők levezetésével megtalálható a kibővített óravázlat 34-38. oldalán.
A sugárirányú differenciálegyenletet helyettesítéssel megoldva a sugárirányú eloszlás
ahol egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja legyen. A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják.
Az elektron megtalálási valószínűsége intervallumban tehát
A legvalószínűbb sugarat szélsőértékhelye adja:
ami alapján . Az alapállapotú hidrogénatomban a legvalószínűbb sugár éppen a Bohr-sugár.