„Kvantummechanikai bevezető példák - Schrödinger-egyenlet megoldása hidrogénatomban” változatai közötti eltérés
(Hibajavítás. Szöveg koherenssé tétele.) |
a |
||
12. sor: | 12. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>A Schrödinger- | + | <wlatex>A hidrogénatom ''Schrödinger''-egyenlete |
$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\Psi + V(r)\Psi = E\Psi, $$ | $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\Psi + V(r)\Psi = E\Psi, $$ | ||
aminek megoldását $\Psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)$ alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete ($|\Psi|^2$) az elektron megtalálási valószínűsége egy adott térfogatelemben. A ''Schrödinger''-egyenlet megoldása a szögfüggő tényezők levezetésével megtalálható a [http://goliat.eik.bme.hu/~tothaf/Tananyagok/Letoltesek/atfiz_bev.pdf kibővített óravázlat] 34-38. oldalán. | aminek megoldását $\Psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)$ alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete ($|\Psi|^2$) az elektron megtalálási valószínűsége egy adott térfogatelemben. A ''Schrödinger''-egyenlet megoldása a szögfüggő tényezők levezetésével megtalálható a [http://goliat.eik.bme.hu/~tothaf/Tananyagok/Letoltesek/atfiz_bev.pdf kibővített óravázlat] 34-38. oldalán. |
A lap 2013. május 29., 20:56-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozza meg a Schrödinger-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!
Megoldás
A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete
aminek megoldását alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete () az elektron megtalálási valószínűsége egy adott térfogatelemben. A Schrödinger-egyenlet megoldása a szögfüggő tényezők levezetésével megtalálható a kibővített óravázlat 34-38. oldalán.
A sugárirányú differenciálegyenletet helyettesítéssel megoldva a sugárirányú eloszlás
ahol egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja legyen. A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják.
Az elektron megtalálási valószínűsége intervallumban tehát
A legvalószínűbb sugarat szélsőértékhelye adja:
ami alapján . Az alapállapotú hidrogénatomban a legvalószínűbb sugár éppen a Bohr-sugár.