„Kvantummechanikai bevezető példák - Izzólámpa látható tartományban kibocsátott teljesítménye” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb. $ | + | </noinclude><wlatex># Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb. $1800\,\mathrm{^\circ C}$. Az emberi szem a $4-7\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ hullámhossz tartományban lát. Becsülje meg az izzólámpa „hatásfokát”! |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a $[\nu, \nu+\ | + | <wlatex>A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a $[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$ frekvenciaintervallumban kisugárzott teljesítmény |
− | $$ \mathcal{E}_\nu = \frac{8\pi}{c^3} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, $$ | + | $$ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^3} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, $$ |
ahol bevezetjük az $x=\frac{h\nu}{kT}$ változót, és kiszámítjuk az összes kisugárzott teljesítményt: | ahol bevezetjük az $x=\frac{h\nu}{kT}$ változót, és kiszámítjuk az összes kisugárzott teljesítményt: | ||
$$ \mathcal{E}_t = \int_0^\infty \mathcal{E}_\nu \mathrm{d}\nu | $$ \mathcal{E}_t = \int_0^\infty \mathcal{E}_\nu \mathrm{d}\nu | ||
− | = \frac{8\pi}{c^3} \left(\frac{kT}{h}\right)^4 \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} \,\mathrm{d}x, $$ | + | = \frac{8\pi}{c^3} \left(\frac{kT}{h}\right)^4 h \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} \,\mathrm{d}x, $$ |
− | Ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle $\zeta$ függvénnyel, értéke $\Gamma(4)\zeta(4)\approx 6{,}5$. | + | Ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle $\zeta$-függvénnyel, értéke $\Gamma(4)\zeta(4)\approx 6{,}5$. |
+ | |||
+ | A kicsi látható $[\nu_0-\frac12\Delta\nu,\nu_0+\frac12\Delta\nu]$ tartományban kisugárzott teljesítményt közelíthetjük: | ||
+ | $$ \Delta \mathcal{E} = \mathcal{E}_{\nu_0} \Delta\nu, $$ | ||
+ | ahol $\nu_0=6 \cdot 10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$ és $\Delta \nu=4 \cdot 10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$ választással élünk ($\lambda_0=500\,\mathrm{nm}$ és $\Delta\lambda=375\,\mathrm{nm}$ amikor a referenciaérték intervallumközép). | ||
+ | |||
+ | Ezekkel | ||
+ | $$ \frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}_t} | ||
+ | = \frac{4,976 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{\frac{W}{m^2}}}{1,400 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{\frac{W}{m^2}}} = 3{,}55 \cdot 10^{-3} = 0{,}355\% $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 22., 23:51-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb. . Az emberi szem a hullámhossz tartományban lát. Becsülje meg az izzólámpa „hatásfokát”!
Megoldás
A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a frekvenciaintervallumban kisugárzott teljesítmény
ahol bevezetjük az változót, és kiszámítjuk az összes kisugárzott teljesítményt:
Ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle -függvénnyel, értéke .
A kicsi látható tartományban kisugárzott teljesítményt közelíthetjük:
ahol és választással élünk ( és amikor a referenciaérték intervallumközép).
Ezekkel