„Kvantummechanikai bevezető példák - Fluxuskvantálás szemléletesen” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 11. sor: | 11. sor: | ||
</noinclude><wlatex># Alkalmazza a Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási hipotézist körpályán mozgó elektronra és egy lineáris oszcillátorra! Magyarázza meg a szupravezetésnél fellépő „fluxuskvantálás” jelenségét a Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási hipotézis segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Alkalmazza a Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási hipotézist körpályán mozgó elektronra és egy lineáris oszcillátorra! Magyarázza meg a szupravezetésnél fellépő „fluxuskvantálás” jelenségét a Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási hipotézis segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>A Bohr-féle hidrogénmodell | + | <wlatex>A Bohr-féle hidrogénmodell posztulátumai: |
| − | # | + | # Az elektron körpályán mozog (centrális erőtér). |
| − | # | + | # Megengedett pályasugarak, stacionárius pályák, ahol a töltéssel rendelkező elektron energiaveszteség nélkül keringhet (a körmozgás gyorsuló mozgás). |
| − | # | + | # A megengedett pályákon az elektron impulzusmomentuma kvantált: $L\equiv mvr = n\hbar$ (kvantumhipotézise). |
| − | # $E_i$ és $E_f$ energiájú | + | # Két, $E_i$ és $E_f$ energiájú pálya közti átmenetre a fotonkibocsátás/fotonelnyelés $h\nu=E_f-E_i$. |
| − | A '''körpályán mozgó elektronra''' vonatkozó 3. | + | A '''körpályán mozgó elektronra''' vonatkozó 3. posztulátumot úgy fogalmazhatjuk át a Lagrange-formalizmusban, hogy a rendszer Lagrange-függvénye $\mathcal{L}=\frac12 m r^2 \dot{\varphi}$. A $p_\varphi$ kanonikus impulzusmomentum fázistérbeli integrálja a stacionárius pályán kvantált: |
$$ \oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \,p_\varphi = nh, $$ | $$ \oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \,p_\varphi = nh, $$ | ||
ahol $p_\varphi=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}}=mr^2\dot{\varphi} = mvr, $ | ahol $p_\varphi=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}}=mr^2\dot{\varphi} = mvr, $ | ||
| 23. sor: | 23. sor: | ||
A '''lineáris oszcillátor''' Lagrange- és Hamilton-függvénye rendre | A '''lineáris oszcillátor''' Lagrange- és Hamilton-függvénye rendre | ||
$$ \mathcal{L}=\frac12 m \dot{x}^2 - \frac12 m \omega^2 x^2, \qquad \mathcal{H}=\frac{p^2}{2m} + \frac12 m \omega^2 x^2, $$ | $$ \mathcal{L}=\frac12 m \dot{x}^2 - \frac12 m \omega^2 x^2, \qquad \mathcal{H}=\frac{p^2}{2m} + \frac12 m \omega^2 x^2, $$ | ||
| − | ahol $p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}$ kanonikus impulzus | + | ahol $p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}$ kanonikus impulzus fázistérbeli integrálja |
| + | az $E$ energiájú pályán a $\mathcal{H}=E$ egyenletű | ||
| + | (azaz $\frac{p^2}{\left(\sqrt{2mE}\right)^2} + \frac{x^2}{\left(\sqrt{\textstyle \frac{2E}{m \omega^2}}\right)^2}=1$ egyenletű) | ||
| + | ellipszis területét adja, és a pályaintegrál kvantált | ||
$$ \oint p\,\mathrm{d}x = \pi \sqrt{2mE}\sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}} = \pi \frac{2E}{\omega} = nh, $$ | $$ \oint p\,\mathrm{d}x = \pi \sqrt{2mE}\sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}} = \pi \frac{2E}{\omega} = nh, $$ | ||
| − | + | amiből $E=n\omega\hbar$. | |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 23., 17:16-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Kvantummechanikai bevezető |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Alkalmazza a Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási hipotézist körpályán mozgó elektronra és egy lineáris oszcillátorra! Magyarázza meg a szupravezetésnél fellépő „fluxuskvantálás” jelenségét a Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási hipotézis segítségével!
Megoldás
A Bohr-féle hidrogénmodell posztulátumai:
- Az elektron körpályán mozog (centrális erőtér).
- Megengedett pályasugarak, stacionárius pályák, ahol a töltéssel rendelkező elektron energiaveszteség nélkül keringhet (a körmozgás gyorsuló mozgás).
- A megengedett pályákon az elektron impulzusmomentuma kvantált:
(kvantumhipotézise).
- Két,
és 
energiájú pálya közti átmenetre a fotonkibocsátás/fotonelnyelés 
.
A körpályán mozgó elektronra vonatkozó 3. posztulátumot úgy fogalmazhatjuk át a Lagrange-formalizmusban, hogy a rendszer Lagrange-függvénye 
. A 
kanonikus impulzusmomentum fázistérbeli integrálja a stacionárius pályán kvantált:
![\[ \oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \,p_\varphi = nh, \]](/images/math/d/8/e/d8eb8b5fa28e5360b74150d252ca9b38.png)
ahol 
innen 
.
A lineáris oszcillátor Lagrange- és Hamilton-függvénye rendre
![\[ \mathcal{L}=\frac12 m \dot{x}^2 - \frac12 m \omega^2 x^2, \qquad \mathcal{H}=\frac{p^2}{2m} + \frac12 m \omega^2 x^2, \]](/images/math/f/b/1/fb1bb47a3f43c6ff7433851f32dbd0b9.png)
ahol 
kanonikus impulzus fázistérbeli integrálja
az 
energiájú pályán a 
egyenletű
(azaz 
egyenletű)
ellipszis területét adja, és a pályaintegrál kvantált
![\[ \oint p\,\mathrm{d}x = \pi \sqrt{2mE}\sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}} = \pi \frac{2E}{\omega} = nh, \]](/images/math/d/2/5/d259600ab9ede03f0b6848eabdce3fd2.png)
amiből 
.
