„Kvantummechanikai bevezető példák - Relativisztikus tömegnövekedés Bohr-féle hidrogénmodellben” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger Kategória:Kvantummechanikai bevezető {{Kísérleti fizika gyakorlat …”) |
|||
| 11. sor: | 11. sor: | ||
</noinclude><wlatex># Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex> | + | <wlatex>A [[Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell|Bohr-modellről]] szóló feladatban levezetett $$ E_n = -\frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \cdot m \cdot \frac{1}{n^2} $$ |
| + | energiakifejezésbe most az $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}$ relativisztikus tömeget helyettesítjük be és sorbafejtjük a nevezőt: | ||
| + | $$ E_n = -\frac{E_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}\cdot \frac{1}{n^2} | ||
| + | = -E_0\left(1+\frac12\left(\frac{v_n}{c}\right)^2+O\left[\left(\frac{v_n}{c}\right)^4\right]\right)\frac{1}{n^2} $$ | ||
| + | vagy másként a relativisztikus tömegnövekedéssel korrigált energiaszintek | ||
| + | $$ E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\frac12 E_0 \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O[n^{-6}], $$ | ||
| + | ahol $ E_0 = \frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} $ és $ \alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c} $. | ||
| + | |||
| + | A mérések ezt nem támasztják alá, azaz a Bohr-modell csak egy közelítő leírása a hidrogénatomnak, mint kvantummechanikai objektumnak. A pontos eredmény a Klein-Gordon-formula: | ||
| + | $$ E_n = m_0 c^2 - \frac{m_0 e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^2} + \frac34 \frac{m_0 e^8}{2\hbar^4(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^2} +O[n^{-6}] $$ | ||
| + | az előző jelölésekkel | ||
| + | $$ E_n = mc^2 - \frac{E_0}{n^2} - \frac34 E_0 \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O[n^{-6}], $$ | ||
| + | ahol az első tag az tömeg-energia megfeleltetésből adódó kifejezés, a második tag a nemrelativisztikus eredmény, a harmadik tagban, pedig már a klasszikus relativisztikus tárgyalás hibája jelenik meg. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 23., 19:30-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Kvantummechanikai bevezető |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!
Megoldás
A Bohr-modellről szóló feladatban levezetett![\[ E_n = -\frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \cdot m \cdot \frac{1}{n^2} \]](/images/math/a/6/a/a6ae56a9669024863e8648da54cb29be.png)
energiakifejezésbe most az 
relativisztikus tömeget helyettesítjük be és sorbafejtjük a nevezőt:
![\[ E_n = -\frac{E_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}\cdot \frac{1}{n^2} = -E_0\left(1+\frac12\left(\frac{v_n}{c}\right)^2+O\left[\left(\frac{v_n}{c}\right)^4\right]\right)\frac{1}{n^2} \]](/images/math/b/b/1/bb197754f756cdefb45fc53562723465.png)
vagy másként a relativisztikus tömegnövekedéssel korrigált energiaszintek
![\[ E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\frac12 E_0 \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O[n^{-6}], \]](/images/math/5/a/9/5a9d74166b8113504736c8092997587e.png)
ahol 
és 
.
A mérések ezt nem támasztják alá, azaz a Bohr-modell csak egy közelítő leírása a hidrogénatomnak, mint kvantummechanikai objektumnak. A pontos eredmény a Klein-Gordon-formula:
![\[ E_n = m_0 c^2 - \frac{m_0 e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^2} + \frac34 \frac{m_0 e^8}{2\hbar^4(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^2} +O[n^{-6}] \]](/images/math/b/e/1/be1e6bda1c71dd75a9451435a1174dda.png)
az előző jelölésekkel
![\[ E_n = mc^2 - \frac{E_0}{n^2} - \frac34 E_0 \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O[n^{-6}], \]](/images/math/e/9/3/e9349a68a87e5c6b685f59d700787cb7.png)
ahol az első tag az tömeg-energia megfeleltetésből adódó kifejezés, a második tag a nemrelativisztikus eredmény, a harmadik tagban, pedig már a klasszikus relativisztikus tárgyalás hibája jelenik meg.
