„Kvantummechanikai bevezető példák - Emissziós spektrum korrekciója visszalökődéssel” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(sebességirányok helyett abszorpció/emisszió) |
|||
11. sor: | 11. sor: | ||
</noinclude><wlatex># Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>Oldjuk meg a feladatot | + | <wlatex>Oldjuk meg a feladatot általánosabban, fotonkibocsátásra ($\nu'>0$) és -elnyelésre ($\nu'<0$), $1$-gyel a kezdő, $2$-vel a végállapotot indexelve. Az energiamegmaradás elve szerint |
$$ E_1 + \frac12 Mv_1^2 = E_2 + \frac12 M v_2^2 + h\nu', $$ | $$ E_1 + \frac12 Mv_1^2 = E_2 + \frac12 M v_2^2 + h\nu', $$ | ||
− | ahol $h\nu = | + | ahol $E$ az elektronpálya energiája, $M$ az atom tömege, $\nu'$ a foton frekvenciája. Jelölje $h\nu = E_1-E_2$ a korrekció nélkül kibocsátott ($\nu>0$) vagy elnyelt ($\nu<0$) foton energiáját. |
− | $$ M v_1 = M v_2 | + | Az impulzusmegmaradás szerint |
+ | $$ M v_1 = M v_2 + \frac{h\nu'}{c}, $$ | ||
+ | ahol a fotont pozitív irányba haladónak, az atommag $v_1$ kezdeti- ill. $v_2$ végsebességét előjelesen értelmezzük. | ||
+ | |||
Az energiamegmaradásból fejezzük ki a korrigált és az „eredeti” foton energiájának különbségét: | Az energiamegmaradásból fejezzük ki a korrigált és az „eredeti” foton energiájának különbségét: | ||
− | $$ h(\nu-\nu') = | + | $$ h(\nu-\nu') = \frac12 M(v_2-v_1)(v_2+v_1) = - \frac12 \frac{h\nu'}{c}(v_1+v_2), $$ |
ahol az utolsó lépésben az impulzusmegmaradást használtuk. Ismét az impulzusmegmaradásból | ahol az utolsó lépésben az impulzusmegmaradást használtuk. Ismét az impulzusmegmaradásból | ||
− | $$ v_2=v_1 | + | $$ v_2=v_1-\frac{h\nu'}{Mc}, $$ |
amivel | amivel | ||
− | $$ h(\nu-\nu') = | + | $$ h(\nu-\nu') = - \left(\frac{h\nu'}{c}v_1 - \frac{(h\nu')^2}{2Mc^2} \right). $$ |
Itt két effektus figyelhető meg: | Itt két effektus figyelhető meg: | ||
* a fotont kibocsátó atom sebessége nagy ($|v_1|\approx c$) vagy az atomot rögzített nem tekintjük ($M\to\infty$), akkor a frekvencia a '''Doppler-effektusnak megfelelően''' tolódik el | * a fotont kibocsátó atom sebessége nagy ($|v_1|\approx c$) vagy az atomot rögzített nem tekintjük ($M\to\infty$), akkor a frekvencia a '''Doppler-effektusnak megfelelően''' tolódik el |
A lap 2013. április 24., 18:42-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!
Megoldás
Oldjuk meg a feladatot általánosabban, fotonkibocsátásra () és -elnyelésre (
),
-gyel a kezdő,
-vel a végállapotot indexelve. Az energiamegmaradás elve szerint
![\[ E_1 + \frac12 Mv_1^2 = E_2 + \frac12 M v_2^2 + h\nu', \]](/images/math/1/e/b/1eb135f3cae5bfc3a2220d99d7ae0788.png)
ahol az elektronpálya energiája,
az atom tömege,
a foton frekvenciája. Jelölje
a korrekció nélkül kibocsátott (
) vagy elnyelt (
) foton energiáját.
Az impulzusmegmaradás szerint
![\[ M v_1 = M v_2 + \frac{h\nu'}{c}, \]](/images/math/1/c/a/1ca01d42ed06008ec51a577f4577b6e3.png)
ahol a fotont pozitív irányba haladónak, az atommag kezdeti- ill.
végsebességét előjelesen értelmezzük.
Az energiamegmaradásból fejezzük ki a korrigált és az „eredeti” foton energiájának különbségét:
![\[ h(\nu-\nu') = \frac12 M(v_2-v_1)(v_2+v_1) = - \frac12 \frac{h\nu'}{c}(v_1+v_2), \]](/images/math/a/f/7/af7b05d971813bda062af363269f5153.png)
ahol az utolsó lépésben az impulzusmegmaradást használtuk. Ismét az impulzusmegmaradásból
![\[ v_2=v_1-\frac{h\nu'}{Mc}, \]](/images/math/5/5/8/558bf5aa606c033d7a46bd53ef06dc10.png)
amivel
![\[ h(\nu-\nu') = - \left(\frac{h\nu'}{c}v_1 - \frac{(h\nu')^2}{2Mc^2} \right). \]](/images/math/0/7/e/07e9342c131dd0aedaccf1a2b8b67333.png)
Itt két effektus figyelhető meg:
- a fotont kibocsátó atom sebessége nagy (
) vagy az atomot rögzített nem tekintjük (
), akkor a frekvencia a Doppler-effektusnak megfelelően tolódik el
- az álló atom által (
) kibocsátott foton energiája kisebb, mint a rögzített atomra végzett számításból adódna: az átmenet energiájának egy részét az atommag viszi el kinetikus energia formájában. A számításból adódik, hogy foton elnyelésénél pedig nagyobb energiákra van szükség, mint amit a kibocsátott fotonok hordoznak, ez mérhető és felfedezőjéről Mössbauer-effektusnak nevezzük.