Kvantummechanikai bevezető példák - Fluxuskvantálás szemléletesen

Feladat

1. Alkalmazza a Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási hipotézist körpályán mozgó elektronra és egy lineáris oszcillátorra! Magyarázza meg a szupravezetésnél fellépő „fluxuskvantálás” jelenségét a Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási hipotézis segítségével!

Megoldás

A Bohr-féle hidrogénmodell kvantumhipotézisei

1. az elektron körpályán mozog (centrális erőtér)
2. megengedett pályasugarak, stacionárius pályák, ahol energiakisugárzás nélkül keringhet (a körmozgás gyorsuló mozgás)
3. ezek a sugarak kvantáltak $\setbox0\hbox{$L\equiv mvr = n\hbar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
4. pályák közti átmenet energiája $\setbox0\hbox{$h\nu=E_f-E_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

A 3. hipotézist úgy fogalmazhatjuk át a Lagrange-formalizmusban, hogy a rendszer Lagrange-függvénye $\setbox0\hbox{$\mathcal{L}=\frac12 m r^2 \dot{\phi}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A $\setbox0\hbox{$p_\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ impulzusmomentum integrálja a stacionárius pályán kvantált:

\[ \oint p_\phi\,\mathrm{d}\phi = 2\pi \,\p_\phi = nh, \]

ahol $\setbox0\hbox{$p_\phi=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}}=mr^2\dot{\phi} = mvr, $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ innen $\setbox0\hbox{$p_\phi=n\hbar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.