Kvantummechanikai bevezető példák - Izzólámpa látható tartományban kibocsátott teljesítménye
A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Stippinger (vitalap | szerkesztései) 2013. április 23., 00:47-kor történt szerkesztése után volt.
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb.
. Az emberi szem a
hullámhossz tartományban lát. Becsülje meg az izzólámpa „hatásfokát”!
Megoldás
A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítmény
![\[ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, \]](/images/math/d/9/e/d9e2e1d84227762bf3e05c1837ccbb30.png)
ahol bevezetjük az változót, és kiszámítjuk az összes kisugárzott teljesítményt:
![\[ \mathcal{E}_t = \int_0^\infty \mathcal{E}_\nu \mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \left(\frac{kT}{h}\right)^4 h \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} \,\mathrm{d}x, \]](/images/math/7/d/8/7d8a9c14625a74cc20161f2cad0234dd.png)
ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle -függvénnyel, értéke
.
A teljes térszögbe a kicsi látható tartományban felületegységenként kisugárzott teljesítményt közelíthetjük:
![\[ \Delta \mathcal{E} = \mathcal{E}_{\nu_0} \Delta\nu, \]](/images/math/7/5/6/75612cbff3866be42bf2f2145971c243.png)
ahol és
választással élünk (
és
amikor a referenciaérték intervallumközép).
Ezekkel a „hatásfok”
![\[ \frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}_t} = \frac{4,976 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{\frac{W}{m^2}}}{1,400 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{\frac{W}{m^2}}} = 3{,}55 \cdot 10^{-3} = 0{,}355\%. \]](/images/math/d/3/b/d3b1eef2a3b4b447745f38b2307e25b1.png)