Kvantummechanikai bevezető példák - Fekete test fotonáramsűrűsége
A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Stippinger (vitalap | szerkesztései) 2013. május 29., 12:52-kor történt szerkesztése után volt.
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozzuk meg, hogy egy
hőmérséklet fekete test milyen foton-áramsűrűséggel sugároz!
Megoldás
A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítményt átírjuk, hogy megjelenjen a foton
energiája:
![\[ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu = h\nu \cdot \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, \]](/images/math/a/c/0/ac0ffb38ed4f2df712a5571ce9ff5de2.png)
ami alapján bevezetjük a teljes térszögbe a frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott fotonszámot:
![\[ n(\nu)\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu. \]](/images/math/b/c/0/bc069d42596b7ba4852bedc10e5989aa.png)
A fotonok teljes száma felületegységenként és időegységenként változócserével:
![\[ N = \int_0^\infty n(\nu)\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3 \int_0^\infty \frac{x^2}{e^x-1}\,\mathrm{d}x, \]](/images/math/e/7/e/e7e49779ae5f36a6e684a8733896d57d.png)
ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle -függvénnyel, értéke
.
Például -en
![\[ N = 5{,}64\cdot 10^{25}\,\mathrm{\frac{1}{s\,m^2}}, \]](/images/math/e/a/1/ea13424bf117dd39c6fcb68e73a6e3ca.png)
amit értelmezhetünk -en
alatt létrejövő
térfogatban egyenletesen eloszló kb.
fotonként.