Kvantummechanikai bevezető példák - Tantál kilépési munkája

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$25\,\mathrm{W}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os megfelelő gázzal töltött lámpától $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re egy Tantál fémfelületet ($\setbox0\hbox{$\Phi_0=4\,\mathrm{eV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) helyezünk el. A klasszikus elmélet alapján becsülje meg, hogy egy elektron átlagosan mennyi idő alatt gyűjtene össze annyi energiát, hogy kiléphessen a fémből!
   (A valóságban a fotoeffektus során az elektronok a megvilágításkor „azonnal” kilépnek a fémből.)

Megoldás

Az energiaáram-sűrűség a $\setbox0\hbox{$P=25\,\mathrm{W}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os izzótól $\setbox0\hbox{$\ell=1\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban

$\[ J_e = \frac{P}{4\pi \ell^2}. \]$

Az egy tantálatomra jutó teljesítmény

$\[ P_\mathrm{Ta} = J_e \frac{D_\mathrm{Ta}^2\pi}{4} = \frac{P}{16} \left( \frac{D_\mathrm{Ta}}{\ell} \right)^2, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$ D_\mathrm{Ta}\approx 290\,\mathrm{pm} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a tantál atom átmérője.

Az átlagos idő, ami alatt egy atom összegyűjtheti a szükséges kilépési munkát (megjegyzendő, hogy a kilépési munkát az anyag szilárd halmazállapotában, az ionizációs energiát az anyag atomos - gáz - halmazállapotában használjuk, a kettő általában nem egyezik meg):

$\[ \Delta t = \frac{\Phi_0}{P_\mathrm{Ta}} = \frac{4 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}}{ 1{,}314 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{W}} = 4{,}88\,\mathrm{s}. \]$

A gyakorlatban már egyszerű kísérleti elrendezésekben is kimérhetjük, hogy az első elektronok $\setbox0\hbox{$\mathrm{\mu s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nál kisebb időskálán megjelennek, ami alátámasztja, hogy az energiát fotonok hordozzák és egy fotont pontosan egy atom nyelhet el. Ha a foton energiája (frekvenciája) elég nagy, akkor lesznek kilépő elektronok, különben az energia a szilárdtest termikus gerjesztésébe disszipálódik.