Kvantummechanikai bevezető példák - Fluxuskvantálás szemléletesen

Feladat

1. Alkalmazza a Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási hipotézist körpályán mozgó elektronra és egy lineáris oszcillátorra! Magyarázza meg a szupravezetésnél fellépő „fluxuskvantálás” jelenségét a Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási hipotézis segítségével!

Megoldás

A Bohr-féle hidrogénmodell posztulátumai:

1. Az elektron körpályán mozog (centrális erőtér).
2. Megengedett pályasugarak, stacionárius pályák, ahol a töltéssel rendelkező elektron energiaveszteség nélkül keringhet (a körmozgás gyorsuló mozgás).
3. A megengedett pályákon az elektron impulzusmomentuma kvantált: $\setbox0\hbox{$L\equiv mvr = n\hbar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (kvantumhipotézise).
4. Két, $\setbox0\hbox{$E_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$E_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energiájú pálya közti átmenetre a fotonkibocsátás/fotonelnyelés $\setbox0\hbox{$h\nu=E_f-E_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

A körpályán mozgó elektronra vonatkozó 3. posztulátumot úgy fogalmazhatjuk át a Lagrange-formalizmusban, hogy a rendszer Lagrange-függvénye $\setbox0\hbox{$\mathcal{L}=\frac12 m r^2 \dot{\varphi}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A $\setbox0\hbox{$p_\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kanonikus impulzusmomentum fázistérbeli integrálja a stacionárius pályán kvantált:

$\[ \oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \,p_\varphi = nh, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$p_\varphi=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}}=mr^2\dot{\varphi} = mvr, $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ innen $\setbox0\hbox{$p_\varphi=n\hbar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

A lineáris oszcillátor Lagrange- és Hamilton-függvénye rendre

$\[ \mathcal{L}=\frac12 m \dot{x}^2 - \frac12 m \omega^2 x^2, \qquad \mathcal{H}=\frac{p^2}{2m} + \frac12 m \omega^2 x^2, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kanonikus impulzus fázistérbeli integrálja az $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energiájú pályán a $\setbox0\hbox{$\mathcal{H}=E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenletű (azaz $\setbox0\hbox{$\frac{p^2}{\left(\sqrt{2mE}\right)^2} + \frac{x^2}{\left(\sqrt{\textstyle \frac{2E}{m \omega^2}}\right)^2}=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenletű) ellipszis területét adja, és a pályaintegrál kvantált

$\[ \oint p\,\mathrm{d}x = \pi \sqrt{2mE}\sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}} = \pi \frac{2E}{\omega} = nh, \]$

amiből $\setbox0\hbox{$E=n\omega\hbar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.