Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell

Feladat

1. Számítsa ki a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a „körpályán” keringő elektron pályasugarát, sebességét, perdületét és energiáját!

Megoldás

A Bohr-féle hidrogénmodellben az elektron a rögzített atommag körül kering, impulzusmomentum a 3. posztulátum szerint kvantált, az $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. pályán:

$\[ L_n \equiv m_e v_n r_n = n\hbar. \]$

A pályasugarakat és sebességeket a klasszikus képben végzet számításokból kapjuk: az atommag $\setbox0\hbox{$F_C=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}{e^2}{r^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Coulomb-vonzása az $\setbox0\hbox{$F_{cp}=m_e a_{cp}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ centripetális erő, ami körpályán tartja az elektront:

$\[ m_e \frac{v_n^2}{r_n} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n^2} . \]$

Ha $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-rel való egyszerűsítés után beírjuk a kvantumfeltételből kapott $\setbox0\hbox{$r_n = \frac{n\hbar}{m_e v_n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggést, akkor a sebesség, és így a sugár lehetséges értékei rendre

$\[ v_n = \frac{v_0}{n} = \alpha_f \frac{c}{n}, \qquad r_n = a_0 n^2 = \frac{n^2\hbar}{\alpha_f m_e c}, \]$

ahol a legnagyobb pályasebesség és a Bohr-sugár rendre

$\[ v_0 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}, \qquad a_0 = \frac{\hbar^2 4 \pi \varepsilon_0}{m_e e^2} \]$

$\[ v_0 \approx 2{,}187 \cdot 10^6\,\mathrm{\frac{m}{s}}, \qquad a_0 \approx 5{,}292 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{m} \]$

valamint bevezettük a

$\[ \alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c} \approx \frac{1}{137{,}036} \]$

jelölést a finomszerkezeti állandóra.

A hidrogénatomban az elektron energiája

$\[ E_n = E_{\text{kin}\,n} + E_{\text{pot}\,n} = \frac12 m_e v_n^2 - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}, \]$

az előző jelölésekkel

$\[ E_n = - \frac{m_e e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac12 m_e c^2 \alpha_f^2 \frac{1}{n^2} = -\frac{E_0}{n^2}, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$E_0\approx 13{,}6\,\mathrm{eV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a hidrogén ionizációs energiája. A negatív előjel a kötött állapotra utal.