Elektrosztatika - Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája

Feladatok

1. Egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma $\setbox0\hbox{$+q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés?
   
   Végeredmény

   Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor a négyzet középpontjába kell egy olyan $\setbox0\hbox{$q*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellentétes előjelű töltést tennünk, ahol $\setbox0\hbox{$q* = -(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
2. Egy $\setbox0\hbox{$Q_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és egy $\setbox0\hbox{$Q_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú pontszerű töltés $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra helyezkedik el egymástól. Határozzuk meg a töltéserendezés terének térerősségét, a két töltést összekötő egyenes mentén a töltések közötti távolság felezőpontjából mért távolság függvényében!
   
   Végeredmény

   A két töltésből származó terek a három térrészben:
   1) $\setbox0\hbox{$\vec{E} = \vec{E_{1}}+\vec{E_{2}} = -\frac{Q_{1}}{(x+\frac{d}{2})^{2}}-\frac{Q_{2}}{(x-\frac{d}{2})^{2}} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   2) $\setbox0\hbox{$\vec{E} = \vec{E_{1}}+\vec{E_{2}} = +\frac{Q_{1}}{(x+\frac{d}{2})^{2}}-\frac{Q_{2}}{(x-\frac{d}{2})^{2}} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   3) $\setbox0\hbox{$\vec{E} = \vec{E_{1}}+\vec{E_{2}} = +\frac{Q_{1}}{(x+\frac{d}{2})^{2}}+\frac{Q_{2}}{(x-\frac{d}{2})^{2}} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
3. Egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú vékony körvezető töltése $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a körvezető síkjától $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban. A tengely mely pontján a legnagyobb a térerősség?
   Útmutatás

   A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait.
   Végeredmény

   $\[ z=\dfrac{r}{\sqrt{2}}\]$
   Megoldás
   
   
4. Adott egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú korong egyenletesen töltött $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületi töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a korong síkjától $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban!
   Útmutatás

   Az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú korongunkat osszuk igen vékony, $\setbox0\hbox{$0<r<R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú töltött gyűrűk sokaságára
   Végeredmény

   $\[E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)\]$
   Megoldás
   
   
5. Végtelen hosszú egyenes fonálon a lineáris töltéssűrűség $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora az elektromos térerősség a fonáltól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra? ( A keresett térerősséget, pontszerű töltések erőterének szuperpozíciójaként állítsuk elő!)
   Végeredmény

   $\[\vec{E_{z}} = \frac{2\cdot k\cdot\lambda}{d}\]$
   Megoldás
   
   
6. Végtelen hosszú egyenes fonálon a lineáris töltéssűrűség $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a térerősséget a fonáltól $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra a Gauss-tétel segítségével!
   Végeredmény

   $\[\vec{E}= \frac{\lambda}{2\cdot r\cdot\epsilon_{0}\cdot\pi}\]$
   Megoldás
   
   
7. Végtelen kiterjedésű síkon $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületi töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a Gauss-tétel segítségével a síktól $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra!
   Végeredmény

   $\[E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0} \]$
   Megoldás
   
   
8. Milyen erőteret hoz létre két, egymásra merőleges végtelen sík, ha rajtuk egyenletesen elosztva $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$2\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűség van?
   Útmutatás

   Írjuk fel a két sík tereinek szuperpozícióját!
   Végeredmény

   $\[\overline{E}=\dfrac{\omega}{\varepsilon_0}\left( \dfrac{x}{\vert x\vert}\overline{i}+\dfrac{y}{2\vert y\vert}\overline{j} \right)\]$

   
   Ahol $\setbox0\hbox{$\overline{i}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\overline{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú egységvektorok.
   Megoldás
   
   
9. Egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömbben egyenletes $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!
   Útmutatás

   Használjuk a Gauss tételt a különböző térrészekre!
   Végeredmény

   A gömbön belül:

   $\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}\]$

   
   A gömbön kívül pedig:

   $\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}\]$
   Megoldás
   
   
10. Egy $\setbox0\hbox{$R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömben egyenletes $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogati töltéssűrűség van. Ezt egy $\setbox0\hbox{$R_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú földelt fémgömb veszi körül koncentrikus elrendezésben.
    a) Határozzuk meg, a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!
    b) Mekkora felületi töltéssűrűség alakul ki a földelt gömbhéj belső felületén?
    Útmutatás

    Használjuk a Gauss tételt a különböző térrészekre!
    Végeredmény

    Ha $\setbox0\hbox{$r<R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

    $\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}\]$

    Ha $\setbox0\hbox{$R_{1}<r<R_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$::

    $\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}\]$

    Ha pedig $\setbox0\hbox{$r>R_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

    $\[\vec{E}=0\]$
    Megoldás
    
    
11. Egy állandó $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogati töltéssűrűségű $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömben a közzéppontól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú üreg van ($\setbox0\hbox{$r+d<R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$). Mekkora a térerősség az üregben?
    Útmutatás

    A kialakuló térerrősséget az üregben felírhatjuk egy homogén $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűségű $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, és egy $\setbox0\hbox{$-\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűségű $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömb tereinek szuperpozíciójaként.
    Végeredmény

    $\[\vec{E}=\frac{\pi\cdot\rho}{3\cdot\epsilon_{0}}\cdot\vec{d}\]$

    
    ,ahol $\setbox0\hbox{$\vec{d}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az origóból az üreg közepébe mutató vektor.
    Megoldás
    
    
12. Egymástól $\setbox0\hbox{$2d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban párhuzamosan elhelyezett két igen hosszú fonalat egyenletesen töltünk fel $\setbox0\hbox{$+\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$-\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lineáris töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget abban a pontban, mely a két fonalat magában foglaló síktól $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban helyezkedik el a rendszer szimmetriasíkjában!
    Útmutatás

    Szuperponáljuk a két vonaltöltés elektromos terét
    Végeredmény

    $\[ E_e=\dfrac{\lambda}{\pi\varepsilon_0}\dfrac{d}{(d^2+z^2)}\]$
    Megoldás
    
    
13. Egy vékony szigetelő drótot $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú kör alakúra hajlítunk, és $\setbox0\hbox{$\lambda=\lambda_0 sin^2\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lineáris töltéssűrűséggel látunk el, ahol $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a drót kezdőpontja és az aktuális hely közötti középponti szög. Határozzuk meg, és ábrázoljuk a térerősséget a kör tengelyén a kör síkjától mért $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság függvényében!
    Útmutatás

    a kört $\setbox0\hbox{$d\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög alatt látszó ívelemekre bontjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait.
    Végeredmény

    $\[E=\dfrac{\lambda_0 R}{4\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}}\]$
    Megoldás
    
    
14. $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú szigetelő gömb térfogatában $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltés oszlik el egyenletesen. A gömböt egy véges vastagságú fém gömbhéj veszi körül, melynek görbületi sugarai $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A gömbhéj eredő töltése 0.
    a) Határozzuk meg a szigetelő gömbben a térfogati töltéssűrűséget!
    b) Milyen előjelű és milyen nagyságú felületi töltéssűrűség alakul ki az $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú felületeken?
    c) Határozzuk meg a térerősséget az $\setbox0\hbox{$r>R_3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugáron!
    d) Rajzoljuk fel jellegre helyesen az elektromos térerősséget, mint a távolság függvényét!
    Útmutatás

    Mivel a fém nem földelt, a fémfelületen töltésmegosztás jön létre úgy, hogy a fém belsejében a tér nulla lesz, továbbá a fém gömbhéj össztöltése szintén nulla marad.
    Végeredmény

    a)

    $\[\varrho=\dfrac{Q}{\dfrac{4}{3}R_1^3\pi}\]$

    b)

    $\[\omega_2=\dfrac{-Q}{4R_2^2\pi}\]$

    
    illetve:

    $\[\omega_3=\dfrac{Q}{4R_3^2\pi}\]$

    c)

    $\[E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^2}\]$
    Megoldás