Kvantummechanikai bevezető példák - Compton-szórás energiaviszonyai

Feladat

1. Határozza meg, hogy a Compton-szórás esetén a beeső foton energiájának hány százalékát adja le az elektronnak!

Megoldás

A Compton-szórás a fotonok elektronokon való szóródásának relativisztikus elmélete. Egy részecske relativisztikus energiája

$\[ E = \left(mc^2\right)^2+\left(pc\right)^2, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a részecske nyugalmi tömege, $\setbox0\hbox{$p=\frac{\left(mv\right)^2}{1-\textstyle \left(\frac{v}{c}\right)^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relativisztikus impulzusa.

Vizsgáljuk azt az esetet, amikor a $\setbox0\hbox{$p_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kezdeti impulzusú foton egy nyugalomban lévő ($\setbox0\hbox{$p_e=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) elektronon szóródik (ezt a koordinátarendszer megfelelő választásával könnyen elérhetjük). Az energiamegmaradás szerint

$\[ p_f c + m_e c^2 = p'_f c + \sqrt{\left(m_e c^2\right)^2+\left(p'_e c\right)^2}, \]$

$\[ \left(p_f c - p'_f c + m_e c^2\right)^2 = \left(m_e c^2\right)^2+\left(p'_e c\right)^2. \]$

Az impulzusmegmaradás szerint (ld. ábra)

$\[ {p'_e}^2 = p_f^2 + {p'_f}^2 - 2 p_f p'_f \cos \vartheta, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$\vartheta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a foton eredeti irányától való eltérésének szöge. Ezzel az előző egyenlet

$\[ -2(1-\cos \vartheta)p_f p'_f c^2 + 2(p_f c)(m_e c^2) -2(p'_f c)(m_e c^2) = 0 \]$

alakot ölti és

$\[ 1-\cos \vartheta = \frac{m_e c}{p'_f} - \frac{m_e c}{p_f} = \frac{m_e c}{h} (\lambda'-\lambda). \]$

A foton által átadott energiahányad

$\[ \eta = \frac{|\Delta E_f|}{E_f} = \frac{p_f c - p'_f c }{p_f c} = 1 - \left(\frac{p_f(1-\cos\vartheta)}{m_e c}+1\right)^{-1}. \]$

Az $\setbox0\hbox{$(1-\eta)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kifejezés szerepel a Klein-Nishina-formulában is, ami a fotonszórás differenciális hatáskeresztmetszetét adja meg.