Kvantummechanikai bevezető példák - Schrödinger-egyenlet megoldása hidrogénatomban

Feladat

1. Határozza meg a Schrödinger-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!

Megoldás

A Schrödinger-egyenlet megoldása megtalálható a kibővített óravázlat 34-38. oldalán.

A Schrödinger-egyenlet

$\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\Psi + V(r)\Psi = E\Psi, \]$

aminek megoldását $\setbox0\hbox{$\Psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete ($\setbox0\hbox{$|\Psi|^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) az elektron megtalálási valószínűsége. A differenciálegyenletet megoldva a sugárirányú eloszlás

$\[ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{-\frac{r}{n a_0}}, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$A_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja $\setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ legyen. A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják.

A legvalószínűbb sugarat $\setbox0\hbox{$R(r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélsőértékhelye adja: