Kvantummechanikai bevezető példák - Fekete test fotonáramsűrűsége

Feladat

1. Határozzuk meg, hogy egy $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérséklet fekete test milyen foton-áramsűrűséggel sugároz!

Megoldás

A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a $\setbox0\hbox{$[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítményt átírjuk, hogy megjelenjen a foton $\setbox0\hbox{$h\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energiája:

$\[ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu = h\nu \cdot \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, \]$

ami alapján bevezetjük a teljes térszögbe a $\setbox0\hbox{$[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott fotonszámot:

$\[ n(\nu)\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu. \]$

A fotonok teljes száma felületegységenként és időegységenként $\setbox0\hbox{$x=\frac{h\nu}{kT}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változócserével:

$\[ N = \int_0^\infty n(\nu)\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3 \int_0^\infty \frac{x^2}{e^x-1}\,\mathrm{d}x, \]$

ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle $\setbox0\hbox{$\zeta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-függvénnyel, értéke $\setbox0\hbox{$\Gamma(3)\zeta(3)\approx 2{,}404$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Például $\setbox0\hbox{$T=2100\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-en

$\[ N = 5{,}64\cdot 10^{25}\,\mathrm{\frac{1}{s\,m^2}}, \]$

amit értelmezhetünk $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{m^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-en $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt létrejövő $\setbox0\hbox{$c \cdot 1\,\mathrm{s\,m^2} = 2{,}998 \cdot 10^8\,\mathrm{m^3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatban egyenletesen eloszló kb. $\setbox0\hbox{$100\,\mathrm{mol}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fotonként.