Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell kéttest korrekciója

Feladat

1. Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a mag véges nagyságú tömege milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben és a spektrumban!

Megoldás

A kéttest korrekció alkalmazásakor a Bohr-modell tárgyalásából továbbra is érvényes, hogy a Coulomb-erő tölti be a centipetális erő szerepét

$\[ m_e \frac{v^2}{r} \equiv m_e \omega^2 r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}, \]$

de az impulzusmomentum kvantálását most az atommag és az elektron összes impulzusmomentumára alkalmazzuk:

$\[ m_e r_e^2 \omega + M r_M^2 \omega = n\hbar, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az atommag tömege, $\setbox0\hbox{$r_e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$r_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rendre az elektron és az atommag pályasugara a közös tömegközéppont körül, $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a közös keringési körfrekvencia.

A tömegközéppont definíciójából

$\[ r_e = \frac{M}{m_e + M}, \qquad r_M = \frac{m_e}{m_e + M}, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az elektron és az atommag távolsága. Bevezetjük még a

$\[ \mu = \frac{m_e M}{m_e + M} \]$

redukált tömeget. Ezekkel a két egyenletünk:

$\[ \mu r_n \omega_n^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n^2}, \]$

$\[ \mu r_n^2 \omega_n = n\hbar, \]$

ami a Bohr-modellével megegyező egyenletrendszer, a kéttest korrekcióval javított energiaszintek a korábbi $\setbox0\hbox{$E_n^* = -\frac{E_0}{n^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ módon számolhatók az új

$\[ E_0^* = E_0 \frac{\mu}{m} = \frac{E_0}{1+\textstyle \frac{m_e}{M}} \approx E_0 \left(1- \frac{m_e}{M}\right) \]$

ionizációs energiával, ahol $\setbox0\hbox{$\frac{m_e}{M}\approx\frac{1}{1835}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Megjegyzés

Az $\setbox0\hbox{$M\to\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határeset visszaadja a rögzített atommag esetét, a $\setbox0\hbox{$^1_1\mathrm{H}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hidrogén, $\setbox0\hbox{$^2_1\mathrm{D}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ deutérium és $\setbox0\hbox{$^4_2\mathrm{He}^+$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyszeresen ionizált héliumatomon végzett kísérletekben ez az izotópeffektus mérhető, az $\setbox0\hbox{$n=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$n=3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gerjesztett állapotok közötti átmenethez tartozó hullámhosszok rendre $\setbox0\hbox{$6562{,}8\,\mathrm{\AA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$6561{,}0\,\mathrm{\AA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$6560{,}2\,\mathrm{\AA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ($\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{\AA}=10^{-10}\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$).

Hélium atomban a mérést a megfelelő energiaszintek közt kell elvégezni, mert rendszáma $\setbox0\hbox{$Z=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így Coulomb-ereje is $\setbox0\hbox{$Z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szer nagyobb:

$\[ E_n^\mathrm{He} = -Z^2 \frac{E_0}{n^2} = - E_0 \frac{1}{{n^*}^2}, \]$

azaz $\setbox0\hbox{$n^*=\frac{n}{Z}=2,3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresett hidrogénszerű állapothoz $\setbox0\hbox{$n=4,6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gerjesztett állapotok tartoznak.