Kvantummechanikai bevezető példák - Schrödinger-egyenlet megoldása hidrogénatomban

Feladat

1. Határozza meg a Schrödinger-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!

Megoldás

A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete

$\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\Psi + V(r)\Psi = E\Psi, \]$

aminek megoldását $\setbox0\hbox{$\Psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete ($\setbox0\hbox{$|\Psi|^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) az elektron megtalálási valószínűsége egy adott térfogatelemben. A Schrödinger-egyenlet megoldása a szögfüggő tényezők levezetésével megtalálható a kibővített óravázlat 34-38. oldalán.

A sugárirányú differenciálegyenletet $\setbox0\hbox{$Q(r)=r\cdot R(r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyettesítéssel megoldva a sugárirányú eloszlás

$\[ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{\textstyle -\frac{r}{n a_0}}, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$A_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja $\setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ legyen. A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják.

Az elektron megtalálási valószínűsége $\setbox0\hbox{$[r,r+\mathrm{d}r]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ intervallumban tehát

$\[ \int_0^{2\pi} \int_0^\pi |\Psi(r,\vartheta,\varphi)|^2 r^2 \sin \vartheta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\vartheta \,\mathrm{d}\varphi \sim \left[r\cdot R(r)\right]^2 \,\mathrm{d}r \]$

A legvalószínűbb sugarat $\setbox0\hbox{$r\cdot R(r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélsőértékhelye adja:

$\[ 0 = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \Big(r\cdot R(r)\Big) \right|_{r_\text{lv.}} = A_n \left[ n\left(\frac{r_\text{lv.}}{a_0}\right)^{n-1} - \frac{1}{n}\left(\frac{r_\text{lv.}}{a_0}\right)^n \right] e^{\textstyle -\frac{r_\text{lv.}}{n a_0}}, \]$

ami alapján $\setbox0\hbox{$r_\text{lv.}=n^2 a_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az alapállapotú hidrogénatomban a legvalószínűbb sugár éppen a Bohr-sugár.