Kvantummechanikai bevezető példák - Izzólámpa látható tartományban kibocsátott teljesítménye

Feladat

1. Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb. $\setbox0\hbox{$1800\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az emberi szem a $\setbox0\hbox{$(4-7)\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hullámhossz tartományban lát. Becsülje meg az izzólámpa „hatásfokát”!

Megoldás

A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a $\setbox0\hbox{$[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítmény

$\[ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, \]$

ahol bevezetjük az $\setbox0\hbox{$x=\frac{h\nu}{kT}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változót, és kiszámítjuk az összes kisugárzott teljesítményt:

$\[ \mathcal{E}_t = \int_0^\infty \mathcal{E}_\nu \mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \left(\frac{kT}{h}\right)^4 h \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} \,\mathrm{d}x, \]$

ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle $\setbox0\hbox{$\zeta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-függvénnyel, értéke $\setbox0\hbox{$\Gamma(4)\zeta(4)\approx 6{,}5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

A teljes térszögbe a kicsi látható $\setbox0\hbox{$[\nu_0-\frac12\Delta\nu,\nu_0+\frac12\Delta\nu]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tartományban felületegységenként kisugárzott teljesítményt közelíthetjük:

$\[ \Delta \mathcal{E} = \mathcal{E}_{\nu_0} \Delta\nu, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$\nu_0=6 \cdot 10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\Delta \nu=4 \cdot 10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ választással élünk ($\setbox0\hbox{$c=\lambda\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\lambda_0=500\,\mathrm{nm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\Delta\lambda=375\,\mathrm{nm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amikor a referenciaérték intervallumközép).

Ezekkel a „hatásfok”

$\[ \frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}_t} = \frac{4,976 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{\frac{W}{m^2}}}{1,400 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{\frac{W}{m^2}}} = 3{,}55 \cdot 10^{-3} = 0{,}355\%. \]$