Kvantummechanikai bevezető példák - Nap felszíni hőmérsékletének becslése

Feladat

1. Nyári napsütésben, délben a Föld felszínének $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{m^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-én átlagosan kb. $\setbox0\hbox{$1400\,\mathrm{W}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ napsugárzási energia mérhető. $\setbox0\hbox{$\left(\sigma =\mathrm{5,671}\cdot {10}^{-8}\frac W{m^2\,K^4}\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Becsüljük meg a Nap felszínének hőmérsékletét!

Megoldás

A Stefan-Boltzmann sugárzási törvény szerint, ha a Nap felszíne $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű, a felületegységenként kisugárzott teljesítmény:

$\[ \mathcal{E}_t = \sigma T^4,\]$

a Nap felszínén kisugárzott összes teljesítmény egyenletesen oszlik el a földpályát tartalmazó (közelítőleg gömb) felületen:

$\[ \mathcal{E}_t 4\pi R_N^2 = \mathcal{E}_t^* 4\pi d^2,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$R_N \approx 6{,}96 \cdot 10^5\,\mathrm{km}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Nap átlagos sugara, $\setbox0\hbox{$d \approx 1{,}5 \cdot 10^{8}\,\mathrm{km}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Föld átlagos távolsága a Naptól, pedig $\setbox0\hbox{$\mathcal{E}_t^* \approx 1400 \mathrm{\frac{W}{m^2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az egységnyi felületre jutó sugárzás teljesítmény a Föld távolságában.

Ezek alapján

$\[ T^4 = \frac{\mathcal{E}_t}{\sigma} = \frac{\mathcal{E}_t^*}{\sigma} \left( \frac{d}{R_N} \right)^2, \]$

az adatokat behelyettesítve

$\[ T = 5819\,\mathrm{K}, \]$

ami megfelel a szakirodalmi értéknek. (Vö. számítógépképernyők meleg színárnyalatához $\setbox0\hbox{$6500\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletet rendelnek.)