Kvantummechanikai bevezető példák - Izzólámpa látható tartományban kibocsátott teljesítménye

Feladat

1. Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb. $\setbox0\hbox{$1300\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az emberi szem a $\setbox0\hbox{$4-7\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hullámhossz tartományban lát. Becsülje meg az izzólámpa „hatásfokát”!

Megoldás

A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a $\setbox0\hbox{$[\nu, \nu+\Delta \nu]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciaintervallumban kisugárzott teljesítmény

$\[ \mathcal{E}_\nu = \frac{8\pi}{c^3} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, \]$

ahol bevezetjük az $\setbox0\hbox{$x=\frac{h\nu}{kT}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változót, és kiszámítjuk az összes kisugárzott teljesítményt:

$\[ \mathcal{E}_t = \int_0^\infty \mathcal{E}_\nu \mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^3} \left(\frac{kT}{h}\right)^4 \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} \,\mathrm{d}x, \]$

Ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle $\setbox0\hbox{$\zeta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvénnyel, értéke $\setbox0\hbox{$\Gamma(4)\zeta(4)\approx 6{,}5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.