Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell

Feladat

1. Számítsa ki a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a „körpályán” keringő elektron pályasugarát, sebességét, perdületét és energiáját!

Megoldás

A Bohr-féle hidrogénmodellben az elektron a rögzített atommag körül kering, impulzusmomentum a 3. posztulátum szerint kvantált, az $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. pályán:

$\[ L_n \equiv m_0 v_n r_n = n\hbar. \]$

A pályasugarakat és sebességeket a klasszikus képben végzet számításokból kapjuk: az atommag $\setbox0\hbox{$F_C=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}{e^2}{r^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Coulomb-vonzása az $F_{cp}=m_0 a_{cp} centripetális erő, ami körpályán tartja az elektront:

$\[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}{e^2}{r^2} = m_0 \frac{v^2}{r}. \]$

$\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-rel való egyszerűsítés után beírjuk a kvantumgfeltételből kapott $r_n = \frac{n\hbar}{m_0 v_n} összefüggést, akkor a sebesség, és így a sugár lehetséges értékei

$\[ v_n = \frac{v_0}{n} = \alpha_f \frac{c}{n}, \qquad r_n = a_0 n^2 = \frac{n^2\hbar}{\alpha_f m_0 c}, \]$

ahol

$\[ v_0 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}, \qquad a_0 = {\hbar^2 4 \pi \varepsilon_0}{m_0 e^2} \]$

és

$\[ \alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c} \approx 137 \]$

finomszerkezeti állandó.