Kvantummechanikai bevezető példák - Relativisztikus tömegnövekedés Bohr-féle hidrogénmodellben

Feladat

1. Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!

Megoldás

A Bohr-modellről szóló feladatban levezetett

$\[ E_n = -\frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \cdot m \cdot \frac{1}{n^2} \]$

energiakifejezésbe most az $\setbox0\hbox{$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relativisztikus tömeget helyettesítjük be és sorbafejtjük a nevezőt:

$\[ E_n = -\frac{E_0}{\sqrt{1-\left(\textstyle \frac{v_n}{c}\right)^2}}\cdot \frac{1}{n^2} = -E_0\left(1+\frac12\left(\frac{v_n}{c}\right)^2+O\left[\left(\frac{v_n}{c}\right)^4\right]\right)\frac{1}{n^2} \]$

vagy másként a relativisztikus tömegnövekedéssel korrigált energiaszintek

$\[ E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\frac12 E_0 \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O[n^{-6}], \]$

ahol $\setbox0\hbox{$ E_0 = \frac{e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$ \alpha_f = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\hbar c} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

A mérések ezt nem támasztják alá, azaz a Bohr-modell csak egy közelítő leírása a hidrogénatomnak, mint kvantummechanikai objektumnak. A pontos eredmény a Klein-Gordon-formula:

$\[ E_n = m_0 c^2 - \frac{m_0 e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^2} + \frac34 \frac{m_0 e^8}{2\hbar^4(4\pi\varepsilon_0)^2} \frac{1}{n^2} +O[n^{-6}] \]$

az előző jelölésekkel

$\[ E_n = mc^2 - \frac{E_0}{n^2} - \frac34 E_0 \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O[n^{-6}], \]$

ahol az első tag az tömeg-energia megfeleltetésből adódó kifejezés, a második tag a nemrelativisztikus eredmény, a harmadik tagban, pedig már a klasszikus relativisztikus tárgyalás hibája jelenik meg.