Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell kéttest korrekciója

Feladat

1. Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a mag véges nagyságú tömege milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben és a spektrumban!

Megoldás

A kéttest korrekciónál a Bohr-modell tárgyalásából továbbra is érvényes, hogy a Coulomb-erő tölti be a centipetális erő szerepét

$\[ m_e \frac{v^2}{r} \equiv m_e \omega^2 r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}, \]$

de az impulzusmomentum kvantálását most az atommag és az elektron összes impulzusmomentumára alkalmazzuk:

$\[ m_e r_e^2 \omega + M r_M^2 \omega = n\hbar, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az atommag tömege, $\setbox0\hbox{$r_e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$r_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rendre az elektron és az atommag pályasugara a közös tömegközéppont körül, $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a közös keringési körfrekvencia.

A tömegközéppont definíciójából

$\[ r_e = \frac{M}{m_e + M}, \qquad r_M = \frac{m_e}{m_e + M}, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az elektron és az atommag távolsága. Bevezetjük még a

$\[ \mu = \frac{m_e M}{m_e + M} \]$

redukált tömeget. Ezekkel a két egyenletünk:

$\[ \mu r_n \omega_n^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n^2}, \]$

$\[ \mu r_n^2 \omega_n = n\hbar, \]$

ami a Bohr-modellével megegyező egyenletrendszer, a kéttest korrekcióval javított energiaszintek a korábbi $\setbox0\hbox{$E_n^* = -\frac{E_0}{n^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ módon számolhatók az új

$\[ E_0^* = E_0 \frac{\mu}{m} = \frac{E_0}{1+\textstyle \frac{m_e}{M}} \approx E_0 \left(1- \frac{m_e}{M}\right) \]$

ionizációs energiával, ahol $\setbox0\hbox{$\frac{m_e}{M}\approx\frac{1}{1835}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.