Kvantummechanikai bevezető példák - Emissziós spektrum korrekciója visszalökődéssel

Feladat

1. Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!

Megoldás

Oldjuk meg a feladatot általánosabban, fotonkibocsátásra ($\setbox0\hbox{$\nu'>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és -elnyelésre ($\setbox0\hbox{$\nu'<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), $\setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-gyel a kezdő, $\setbox0\hbox{$2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel a végállapotot indexelve. Az energiamegmaradás elve szerint

$\[ E_1 + \frac12 Mv_1^2 = E_2 + \frac12 M v_2^2 + h\nu', \]$

ahol $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az elektronpálya energiája, $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az atom tömege, $\setbox0\hbox{$\nu'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a foton frekvenciája. Jelölje $\setbox0\hbox{$h\nu = E_1-E_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a korrekció nélkül kibocsátott ($\setbox0\hbox{$\nu>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) vagy elnyelt ($\setbox0\hbox{$\nu<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) foton energiáját. Az impulzusmegmaradás szerint

$\[ M v_1 = M v_2 + \frac{h\nu'}{c}, \]$

ahol a fotont pozitív irányba haladónak, az atommag $\setbox0\hbox{$v_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kezdeti- ill. $\setbox0\hbox{$v_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ végsebességét előjelesen értelmezzük.

Az energiamegmaradásból fejezzük ki a korrigált és az „eredeti” foton energiájának különbségét:

$\[ h(\nu'-\nu) = \frac12 M(v_1-v_2)(v_1+v_2) = \frac12 \frac{h\nu'}{c}(v_1+v_2), \]$

ahol az utolsó lépésben az impulzusmegmaradást használtuk. Ismét az impulzusmegmaradásból

$\[ v_2=v_1-\frac{h\nu'}{Mc}, \]$

amivel

$\[ h(\nu'-\nu) = \left(\frac{h\nu'}{c}v_1 - \frac{(h\nu')^2}{2Mc^2} \right). \]$

Itt két effektus figyelhető meg:

• a fotont kibocsátó atom sebessége nagy ($\setbox0\hbox{$|v_1|\approx c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) vagy az atomot rögzített nem tekintjük ($\setbox0\hbox{$M\to\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), akkor a frekvencia a Doppler-effektusnak megfelelően
  $\[ \nu' = \frac{\nu}{1-\displaystyle \frac{v_1}{c}} \]$
  módon tolódik el;
• az álló atom által ($\setbox0\hbox{$v_1=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) kibocsátott foton energiája kisebb, mint a rögzített atomra végzett számításból adódna. Az átmenet energiájának egy részét a visszalökődéssel az atommag viszi el kinetikus energia formájában, a foton frekvenciája
  $\[ \nu' = \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h\nu'}{Mc^2}} \approx \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h\nu}{Mc^2}}. \]$
  A számításból adódik, hogy abszorpció létrejöttéhez nagyobb abszolút értékű fotonenergiára van szükség, mint amit a kibocsátott fotonok hordoznak; ez mérhető, ugyanis alacsony hőmérsékleten szilárd testek atomjai egyre inkább képesek visszalökődés nélküli abszorpcióra. A jelenséget felfedezőjéről Mössbauer-effektusnak nevezzük.