„Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell kéttest korrekciója” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger Kategória:Kvantummechanikai bevezető {{Kísérleti fizika gyakorlat …”) |
a (Tördelés fejlesztése.) |
||
| (egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a mag véges nagyságú tömege milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben és a spektrumban!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= | + | </noinclude><wlatex># Számítsa ki, hogy a hidrogénatom ''Bohr''-féle modelljében a mag véges nagyságú tömege milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben és a spektrumban!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Oldja meg a ''Bohr''-modellt tömegközépponti koordináta-rendszerben.}}{{Végeredmény|content=$$E_n^* = -\frac{E_0}{n^2},$$ $$ E_0^* = \frac{E_0}{1+\textstyle \frac{m_e}{M}} \approx E_0 \left(1- \frac{m_e}{M}\right), $$ ahol $m_e$ az elektron, $M$ pedig az atommag tömege.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex> | + | <wlatex>A kéttest korrekció alkalmazásakor a [[Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell|''Bohr''-modell]] tárgyalásából továbbra is érvényes, hogy a ''Coulomb''-erő tölti be a centipetális erő szerepét |
| + | $$ m_e \frac{v^2}{r} \equiv m_e \omega^2 r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}, $$ | ||
| + | de az impulzusmomentum kvantálását most az atommag és az elektron összes impulzusmomentumára alkalmazzuk: | ||
| + | $$ m_e r_e^2 \omega + M r_M^2 \omega = n\hbar, $$ | ||
| + | ahol $M$ az atommag tömege, $r_e$ és $r_M$ rendre az elektron és az atommag pályasugara a közös tömegközéppont körül, $\omega$ pedig a közös keringési körfrekvencia. | ||
| + | |||
| + | A tömegközéppont definíciójából | ||
| + | $$ r_e = \frac{M}{m_e + M}, \qquad r_M = \frac{m_e}{m_e + M}, $$ | ||
| + | ahol $r$ az elektron és az atommag távolsága. Bevezetjük még a | ||
| + | $$ \mu = \frac{m_e M}{m_e + M} $$ | ||
| + | redukált tömeget. Ezekkel a két egyenletünk: | ||
| + | $$ \mu r_n \omega_n^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n^2}, $$ | ||
| + | $$ \mu r_n^2 \omega_n = n\hbar, $$ | ||
| + | ami a [[Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell|Bohr-modellével]] megegyező egyenletrendszer, a kéttest korrekcióval javított energiaszintek a korábbi $E_n^* = -\frac{E_0}{n^2}$ módon számolhatók az új | ||
| + | $$ E_0^* = E_0 \frac{\mu}{m} = \frac{E_0}{1+\textstyle \frac{m_e}{M}} \approx E_0 \left(1- \frac{m_e}{M}\right) $$ | ||
| + | ionizációs energiával, | ||
| + | ahol $\frac{m_e}{M}\approx\frac{1}{1835}$. | ||
| + | |||
| + | == Megjegyzés == | ||
| + | Az $M\to\infty$ határeset visszaadja a rögzített atommag esetét, a $^1_1\mathrm{H}$ hidrogén, $^2_1\mathrm{D}$ deutérium és $^4_2\mathrm{He}^+$ egyszeresen ionizált héliumatomon végzett kísérletekben ez az izotópeffektus mérhető, az $n=2$ és $n=3$ gerjesztett állapotok közötti átmenethez tartozó hullámhosszok rendre $6562{,}8\,\mathrm{\AA}$, $6561{,}0\,\mathrm{\AA}$ és $6560{,}2\,\mathrm{\AA}$ ($1\,\mathrm{\AA}=10^{-10}\,\mathrm{m}$). | ||
| + | |||
| + | Hélium atomban a mérést a megfelelő energiaszintek közt kell elvégezni, mert rendszáma $Z=2$, így Coulomb-ereje is $Z$-szer nagyobb: | ||
| + | $$ E_n^\mathrm{He} = -Z^2 \frac{E_0}{n^2} = - E_0 \frac{1}{{n^*}^2}, $$ | ||
| + | azaz $n^*=\frac{n}{Z}=2,3$ keresett hidrogénszerű állapothoz $n=4,6$ gerjesztett állapotok tartoznak. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. június 13., 23:39-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Kvantummechanikai bevezető |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a mag véges nagyságú tömege milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben és a spektrumban!
Megoldás
A kéttest korrekció alkalmazásakor a Bohr-modell tárgyalásából továbbra is érvényes, hogy a Coulomb-erő tölti be a centipetális erő szerepét
![\[ m_e \frac{v^2}{r} \equiv m_e \omega^2 r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}, \]](/images/math/5/5/7/55738a594176a6ff37888a6aa4a66577.png)
de az impulzusmomentum kvantálását most az atommag és az elektron összes impulzusmomentumára alkalmazzuk:
![\[ m_e r_e^2 \omega + M r_M^2 \omega = n\hbar, \]](/images/math/c/5/c/c5c8c85bb1ccf4f809548f1d2b48a029.png)
ahol 
az atommag tömege, 
és 
rendre az elektron és az atommag pályasugara a közös tömegközéppont körül, 
pedig a közös keringési körfrekvencia.
A tömegközéppont definíciójából
![\[ r_e = \frac{M}{m_e + M}, \qquad r_M = \frac{m_e}{m_e + M}, \]](/images/math/5/e/1/5e1b48c72410a9285ecc77c35db9c1e1.png)
ahol 
az elektron és az atommag távolsága. Bevezetjük még a
![\[ \mu = \frac{m_e M}{m_e + M} \]](/images/math/c/9/f/c9f7334945bef6892a82b26ec5dd49c8.png)
redukált tömeget. Ezekkel a két egyenletünk:
![\[ \mu r_n \omega_n^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n^2}, \]](/images/math/f/3/e/f3e4605d2a60521506eb7a3a2e93c622.png)
![\[ \mu r_n^2 \omega_n = n\hbar, \]](/images/math/5/f/e/5fe8f1047696ecd9a73a6d3520cfe354.png)
ami a Bohr-modellével megegyező egyenletrendszer, a kéttest korrekcióval javított energiaszintek a korábbi 
módon számolhatók az új
![\[ E_0^* = E_0 \frac{\mu}{m} = \frac{E_0}{1+\textstyle \frac{m_e}{M}} \approx E_0 \left(1- \frac{m_e}{M}\right) \]](/images/math/e/8/0/e802064fa27c431d6c4b66d3feba6193.png)
ionizációs energiával,
ahol 
.
Megjegyzés
Az 
határeset visszaadja a rögzített atommag esetét, a 
hidrogén, 
deutérium és 
egyszeresen ionizált héliumatomon végzett kísérletekben ez az izotópeffektus mérhető, az 
és 
gerjesztett állapotok közötti átmenethez tartozó hullámhosszok rendre 
, 
és 
(
).
Hélium atomban a mérést a megfelelő energiaszintek közt kell elvégezni, mert rendszáma 
, így Coulomb-ereje is 
-szer nagyobb:
![\[ E_n^\mathrm{He} = -Z^2 \frac{E_0}{n^2} = - E_0 \frac{1}{{n^*}^2}, \]](/images/math/6/1/4/6149c543e389a2e321a7df133538d16d.png)
azaz 
keresett hidrogénszerű állapothoz 
gerjesztett állapotok tartoznak.
