„Kvantummechanikai bevezető példák - Foton és elektron kinetikus energiája a hullámszám függvényében” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Hasonlítsa össze a foton és az elektron kinetikus energia-hullámszám görbéjét! Elemezze a lehetséges jellegzetességeket relativisztikus, és nem-relativisztikus esetekben!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$ | + | </noinclude><wlatex># Hasonlítsa össze a foton és az elektron kinetikus energia-hullámszám görbéjét! Elemezze a lehetséges jellegzetességeket relativisztikus, és nem-relativisztikus esetekben!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A relativisztikus összenergia $E(\mathbf{p}) = \sqrt{m_0^2c^4+c^2p^2}$.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>A relativisztikus összenergia |
+ | $$ E(\mathbf{p}) = \sqrt{m_0^2c^4+c^2p^2}, $$ | ||
+ | [[Fájl:Relativisztikus összenergia.svg|none|400px]] | ||
+ | ahol $m_0$ a részecske nyugalmi tömege, $\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$ pedig a relativisztikus impulzusa kifejezve a $\mathbf{k}$ hullámszámmal. Ebből kivonva a nyugalmi energiát a kinetikus energiához jutunk: | ||
+ | $$ E_\text{kin}(\mathbf{k}) = E(\mathbf{\hbar k}) - m_0c^2. $$ | ||
+ | A foton nyugalmi tömege $0$, ezért az $$ E_\text{kin}^\text{foton}(\mathbf{k}) = \hbar |\mathbf{k}| c $$ diszperziós relációja lineáris. | ||
+ | [[Fájl:Relativisztikus kinetikus energia.svg|none|400px]] | ||
+ | Kis sebességekre $p\ll c$ (nemrelativisztikus tartomány) a kinetikus energia sorba fejthető | ||
+ | $$ E_\text{kin}(\mathbf{k}) = m_0c^2 \left[ \sqrt{1+\left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2} - 1 \right] | ||
+ | = m_0c^2 \left[ 1+\frac12\left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2 + O(p^4) - 1 \right] | ||
+ | =\frac{p^2}{2m_0} + O(p^4), $$ | ||
+ | és visszakapjuk a newtoni viselkedést. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 24., 20:18-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Hasonlítsa össze a foton és az elektron kinetikus energia-hullámszám görbéjét! Elemezze a lehetséges jellegzetességeket relativisztikus, és nem-relativisztikus esetekben!
Megoldás
A relativisztikus összenergia
ahol a részecske nyugalmi tömege, pedig a relativisztikus impulzusa kifejezve a hullámszámmal. Ebből kivonva a nyugalmi energiát a kinetikus energiához jutunk:
A foton nyugalmi tömege , ezért az diszperziós relációja lineáris.Kis sebességekre (nemrelativisztikus tartomány) a kinetikus energia sorba fejthető
és visszakapjuk a newtoni viselkedést.