„Kvantummechanikai bevezető példák - Schrödinger-egyenlet megoldása hidrogénatomban” változatai közötti eltérés
a |
|||
12. sor: | 12. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>A Schrödinger-egyenlet |
− | + | ||
− | A Schrödinger-egyenlet | + | |
$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\Psi + V(r)\Psi = E\Psi, $$ | $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\Psi + V(r)\Psi = E\Psi, $$ | ||
− | aminek megoldását $\Psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)$ alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete ($|\Psi|^2$) az elektron megtalálási valószínűsége. A differenciálegyenletet megoldva a sugárirányú eloszlás | + | aminek megoldását $\Psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)$ alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete ($|\Psi|^2$) az elektron megtalálási valószínűsége egy adott térfogatelemben. A ''Schrödinger''-egyenlet megoldása a szögfüggő tényezők levezetésével megtalálható a [http://goliat.eik.bme.hu/~tothaf/Tananyagok/Letoltesek/atfiz_bev.pdf kibővített óravázlat] 34-38. oldalán. |
− | $$ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{-\frac{r}{n a_0}}, $$ | + | |
+ | A sugárirányú differenciálegyenletet $Q(r)=r\cdot R(r)$ helyettesítéssel megoldva a sugárirányú eloszlás | ||
+ | $$ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{\textstyle -\frac{r}{n a_0}}, $$ | ||
ahol $A_n$ egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja $1$ legyen. | ahol $A_n$ egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja $1$ legyen. | ||
A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják. | A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják. | ||
− | A legvalószínűbb sugarat $R(r)$ szélsőértékhelye adja: | + | Az elektron megtalálási valószínűsége $[r,r+\mathrm{d}r]$ intervallumban tehát |
+ | $$ \int_0^{2\pi} \int_0^\pi |\Psi(r,\vartheta,\varphi)|^2 r^2 sin \vartheta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\vartheta \,\mathrm{d}\varphi | ||
+ | \sim r\cdot R(r)\,\mathrm{d}r $$ | ||
+ | A legvalószínűbb sugarat $r\cdot R(r)$ szélsőértékhelye adja: | ||
+ | $$ 0 = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left(r\cdot R(r)\right) \right|_{r_\text{max}} | ||
+ | = \frac{A_n}{a_0} \left[ n\left(\frac{r_\text{max}}{a_0}\right)^{n-1} - \frac{1}{n}\left(\frac{r_\text{max}}{a_0}\right)^n \right] e^{\textstyle -\frac{r_\text{max}}{n a_0}}, $$ | ||
+ | ami alapján $r_\text{max}=n^2 a_0$. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. május 29., 20:51-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozza meg a Schrödinger-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!
Megoldás
A Schrödinger-egyenlet
aminek megoldását alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete () az elektron megtalálási valószínűsége egy adott térfogatelemben. A Schrödinger-egyenlet megoldása a szögfüggő tényezők levezetésével megtalálható a kibővített óravázlat 34-38. oldalán.
A sugárirányú differenciálegyenletet helyettesítéssel megoldva a sugárirányú eloszlás
ahol egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja legyen. A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják.
Az elektron megtalálási valószínűsége intervallumban tehát
A legvalószínűbb sugarat szélsőértékhelye adja:
ami alapján .