„Kvantummechanikai bevezető példák - Schrödinger-egyenlet megoldása hidrogénatomban” változatai közötti eltérés
a (Szöveg koherenssé tétele) |
a (Tördelés fejlesztése.) |
||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Határozza meg a ''Schrödinger''-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az elektron sugárirányú megtalálási valószínűségének eloszlás | + | </noinclude><wlatex># Határozza meg a ''Schrödinger''-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az elektron sugárirányú megtalálási valószínűségének eloszlás $$ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{\textstyle -\frac{r}{n a_0}}.$$}}{{Végeredmény|content=$$r_\text{lv.}=n^2 a_0$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
− | $$ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{\textstyle -\frac{r}{n a_0}}.$$}}{{Végeredmény|content=$$r_\text{lv.}=n^2 a_0$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | |
== Megoldás == | == Megoldás == |
A lap jelenlegi, 2013. június 17., 00:29-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kvantummechanikai bevezető |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozza meg a Schrödinger-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!
Megoldás
A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete
aminek megoldását alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete () az elektron megtalálási valószínűsége egy adott térfogatelemben. A Schrödinger-egyenlet megoldása a szögfüggő tényezők levezetésével megtalálható a kibővített óravázlat 34-38. oldalán.
A sugárirányú differenciálegyenletet helyettesítéssel megoldva a sugárirányú eloszlás
ahol egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja legyen. A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják.
Az elektron megtalálási valószínűsége intervallumban tehát
A legvalószínűbb sugarat szélsőértékhelye adja:
ami alapján . Az alapállapotú hidrogénatomban a legvalószínűbb sugár éppen a Bohr-sugár.